Điều kiện của bất phương trình là $x\geq -1$. Trường hợp $-1\leq x<\frac{1}{2}$. Khi đó $4x^2+x+6>x+1\geq0$ và $4x-2<0$. Suy ra mọi giá trị $x$ mà $-1\leq x<\frac{1}{2}$ đều là nghiệm của bất phương trình.
Trường hợp $x\geq \frac{1}{2}$. Bất phương trình tương đương với $(\sqrt{4x^2+x+6}-\sqrt{x+1})^2\geq (4x-2)^2$,
hay $2\sqrt{4x^3+5x^2+7x+6}\leq -12x^2+18x+3$,
hay $\begin{cases}-12x^2+18x+3\geq 0 \\4(4x^3+5x^2+7x+6)\leq (-12x^2+18x+3)^2 \end{cases}$,
hay $\begin{cases}\frac{3-\sqrt{13}}{4}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{13}}{4}\\144x^4-448x^3+232x^2+80x-15\geq 0\end{cases}$,
hay $\begin{cases}\frac{3-\sqrt{13}}{4}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{13}}{4}\\(4x^2-8x-3)(36x^2-40x+5)\geq 0\end{cases}$,
hay $\begin{cases}\frac{3-\sqrt{13}}{4}\leq x\leq \frac{3+\sqrt{13}}{4}\\-\infty <x\leq \frac{2-\sqrt{7}}{2}\vee \frac{10-\sqrt{55}}{4}\leq x\leq \frac{10+\sqrt{55}}{18}\vee \frac{2+\sqrt{7}}{2}\leq x<+\infty \end{cases}$,
hay $\frac{10-\sqrt{55}}{18}\leq x\leq \frac{10+\sqrt{55}}{18}$.
Kết hợp điều kiện đang xét thì có $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{10+\sqrt{55}}{18}$.
Vậy nghiệm $x$ của bất phương trình thỏa mãn $-1\leq x\leq \frac{10+\sqrt{55}}{18}$.