đường tròn (C) có tâm I(-2;1) , bán kính R=3 .Do M là điểm $\in d$ nên M(a;1-a)
Do M nằm ngoài (C) nên $IM\geq R<=>IM^{2}>9<=>(a+2)^{2}+(-a)^{2}>9$
$<=>2a^{2}+4a -5>0(*)$
Ta có $MA^{2}=MB^{2}=IM^{2}-IA^{2}=(a+2)^{2}+(-a)^{2}-9=2a^{2}+4a-9$
do đó toạ độ của A ,B thoả mãn phương trình : $(x-a)^{2}+(y+a-1)^{2}=2a^{2}+4a-5$
$<=>x^{2}+y^{2}-2ax+2(a-1)y -6a +6=0(1)$
Do A, B thuộc (C) nên toạ độ A,B thoả mãn phương trình
$x^{2}+y^{2}+4x -2y -4 =0 (2)$
Trừ theo vế của (1) và (2) ta được (a+2)x-ay +3a-5=0 (3)
Do toạ độ của A,B thoả mãn (3) nên (3) chính là phương trình của đường thẳng $\Delta $ đi qua A,B
+) Do (E) tiếp xúc với $\Delta $ nên (E) có bán kính $R_{1}=d(E,\Delta )$
Chu vi của (E )lớn nhất <=> $R_{1}$ lớn nhất <=> $d(E,\Delta )$ lớn nhất
nhận thấy đường thẳng $\Delta $ luôn đi qua điểm $K(\frac{5}{2};\frac{11}{2})$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên $\Delta $ =>$d(E;\Delta )= EH \leq EK =\frac{\sqrt{10}}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $H\Xi K$=> $\Delta $ vuông góc với KE
ta có $\underset{EK}{\rightarrow}=(\frac{-1}{2};\frac{3}{2}),\Delta $ có vecto chỉ phương $\underset{u}{\rightarrow}=(a;a+2)$
do $\Delta $ vuông góc với EK =>$\underset{EK}{\rightarrow}\times \underset{u}{\rightarrow}=0$
<=> a=-3
Vậy điểm M (-3;4) là điểm cần tìm.