$\begin{cases}(1-y)\sqrt{x-y}+x=2 + (x-y-1)\sqrt{y} \\ 2y^{2}-3x+6y+1 = 2\sqrt{x-2y}-\sqrt{4x-5y-3} \end{cases}$

Question

Giải hệ phương trình
$\begin{cases}(1-y)\sqrt{x-y}+x=2 + (x-y-1)\sqrt{y} \\ 2y^{2}-3x+6y+1 = 2\sqrt{x-2y}-\sqrt{4x-5y-3} \end{cases}$

Nguyễn Nhung · Answer 1 · 6/9/2016 3:51:08 PM

Điều kiện

{\begin{cases} y \geq 0 \\ x \geq 2 y \\ 4 x \geq 5 y + 3 \end{cases} (*)

Ta có:

(1) \Leftrightarrow (y - x + 1) (\sqrt{x - y} - 1) + (x - y - 1) (1 - \sqrt{y}) = 0

(1 - y) (x - y - 1) (\frac{1}{\sqrt{x - y} + 1} + \frac{1}{\sqrt{y} + 1}) = 0

\Leftrightarrow [y = 1 y = x - 1

*** Với

y = 1

phương trình (2) trở thành

9 - 3 x = 0 \Leftrightarrow x = 3

*** Với

y = x - 1

điều kiện (*) trở thành

1 \leq x \leq 2

Phương trình 2 trở thành:

2 x^{2} - x - 3 = \sqrt{2 - x}

\Leftrightarrow 2 (x^{2} - x - 1) + (x - 1 - \sqrt{2 - x}) = 0

\Leftrightarrow (x^{2} - x - 1) (2 + \frac{1}{x - 1 + \sqrt{2 - x}}) = 0

\Leftrightarrow x^{2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Đối chiếu (*) và kết hợp trường hợp trên ta có nghiệm của hệ là

(x, y) = (3, 1); (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2})

1 Đáp án