Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $CD$
Dễ thấy $P,H,Q$ thẳng hàng và $PH+HQ=PQ=AB$
Ta có
$\sqrt{S_{ABH}}+\sqrt{S_{CDH}} \le \sqrt{2(S_{ABH}+S_{CDH})}=\sqrt{AB.PH+CD.QH}=\sqrt{AB(PH+QH)}=AB$
Vậy GTLN là $AB$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{OM}{OD}=\sqrt 2-1$