Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+3}$

Viết lại bđt cần chứng minh:

$$\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}\le \frac{1}{2}$$

$$\iff \sum \frac{1}{3}-\sum \frac{1}{a^2+b^2+3}\ge 1-\frac{1}{2}$$

$$\iff \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3}\ge \frac{3}{2}$$

Ta có đánh giá$$a^2+b^2=\frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{2}$$

Nên bđt cần chứng minh$$\leftrightarrow \sum \frac{(a+b{)}^2}{a^2+b^2+3}+\sum \frac{(a-b{)}^2}{a^2+b^2+3}\ge 3$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swarchz ta có
$$\sum \frac{(a+b{)}^2}{a^2+b^2+3}\ge \frac{4(a+b+c{)}^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}$$

$$\sum \frac{(a-b{)}^2}{a^2+b^2+3}\ge \frac{(|a-b|+|b-c|+|a-c|{)}^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}=\frac{4(a-c{)}^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}$$
Ta đưa bất đẳng thức về chứng minh:

$$\leftrightarrow \frac{4(a+b+c{)}^2+4(a-c{)}^2}{2(a^2+b^2+c^2)+9}\ge 3$$

$$\leftrightarrow 4(a+b+c{)}^2+4(a-c{)}^2\ge 6(a^2+b^2+c^2)+27$$

Sử dụng giả thuyết $a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.BĐT cần chứng minh:

$$\leftrightarrow 2(a+b+c{)}^2+4(a-c{)}^2\ge 6(a^2+b^2+c^2)$$

$$\leftrightarrow (a-b)(b-c)\ge 0\left(1\right)$$

Nhận thấy bđt trên không phải luôn đúng.Nhưng  ta có thể ''ép'' nó đúng:

Thật vậy.Thiết lập các đánh giá tương tự ta có thể đưa bất đẳng thức về chứng minh:$$(c-a)(b-c)\ge 0\left(2\right)$$hoặc$$(c-a)(a-b)\ge 0\left(3\right)$$

Vậy nếu trong $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ có 1 bất đẳng thức đúng thì bài toán được chứng minh.Nhận thấy$$\left[\right(a-b\left)\right(b-c\left)\right]\left[\right(b-c\left)\right(c-a\left)\right]\left[\right(c-a\left)\right(a-b\left)\right]=(a-b{)}^2(b-c{)}^2(c-a{)}^2\ge 0$$

$\to$ Trong 3 đại lượng $\left[\right(a-b\left)\right(b-c\left)\right];\left[\right(b-c\left)\right(c-a\left)\right];\left[\right(c-a\left)\right(c-b\left)\right]$ có ít nhất 1 đại lượng không âm.Phép chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$