$\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}} \ge 1$
c gõ gãy tay r e :( –  Confusion 11-05-16 11:38 PM
không dầm không dám!! mà khi nào rảnh up, bài dài, tốn t/g... :) –  Confusion 08-05-16 11:38 PM
chị xinh đẹp ,ra tay đi chị –  Ngọc 08-05-16 05:15 PM
mk mới tìm đk 3 cách....ai biết cách thứ 4 thì cho mk yết kiến nha..!! –  [_đéo_có_tên_] 08-05-16 05:14 PM
hình như có đến 4 cách c/m cho bài toán này :) –  Confusion 08-05-16 02:20 PM
thật ra có cách ko cần dùng đến phản chứng mọi người ạ.... –  [_đéo_có_tên_] 08-05-16 06:18 AM
ca thử đặt ẩn đi :) –  Confusion 07-05-16 11:28 PM
chắc phải có cách khác chứ –  ๖ۣۜDevilღ 07-05-16 11:10 PM
lãm mãi chưa được em ạ :v –  ๖ۣۜDevilღ 07-05-16 11:10 PM
hôm nay thánh bđt bị sao mak hỏi toàn câu ngớ ngẩn z? –  Ngọc 07-05-16 11:05 PM
bài này dùng pp phản chứng –  Ngọc 07-05-16 11:04 PM
mấy thánh của tôi ơi,cứ cao siêu chi để mak ko ra –  Ngọc 07-05-16 11:04 PM
ngược chiều :)) –  tran85295 07-05-16 09:37 PM
holder hay sao ý :v –  ๖ۣۜDevilღ 07-05-16 09:36 PM

12 Đáp án
Lời cuối:
Mở rộng: $\Sigma \frac{a}{\sqrt{a^2+kbc}}\geq \frac{3}{\sqrt{k+1}}$ với $k\geq 8.$
Cách chứng minh cũng tương tự.
P/s: Đừng spam mình nhé! :))
                                       Trò chơi kết thúc
                                         ~GAME OVER~
đúng rảnh rỗi luôn :)) –  tran85295 19-05-16 03:24 PM
bạn Trần Hoàng Nam đừng có bình luận nhảm nhí dưới lời giải của người khác ==" –  Confusion 19-05-16 03:12 PM
:V....... –  @_@ *Mèo9119* @_@ 19-05-16 03:11 PM
7 màu............................................... –  ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 19-05-16 03:10 PM
ôi, laị max òi :((, oln nick khác :)) –  Confusion 19-05-16 03:08 PM
rảnh nhỉ :)) –  tran85295 19-05-16 03:07 PM
nao lm bài dài cho mỗi dòng 1 màu :)) –  Confusion 19-05-16 03:07 PM
6 màu :v –  @_@ *Mèo9119* @_@ 19-05-16 03:05 PM
đa sắc màu quá :D –  ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 19-05-16 03:04 PM
Cách $8:$
Ta có: $\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{1}{2}(a^2+2)$
$\Rightarrow \sqrt{1+8a}\leq \frac{1}{2}(2+4\sqrt[3]{a^3})$
Tương tự:................................
$\rightarrow $ Cần c/m: $\Sigma \frac{1}{1+2\sqrt[3]{a^2}}\geq 1$
Ta có biến đổi: $VT=\Sigma \frac{\sqrt[3]{(abc)^2}}{\sqrt[3]{(abc)^2}+2\sqrt[3]{a^2}}=\Sigma \frac{\sqrt[3]{(ab)^2}}{\sqrt[3]{(ab)^2}+2}\geq \frac{(\Sigma \sqrt[3]{ab})^2}{6+\Sigma \sqrt[3]{(ab)^2}}$ (do $abc=1$)
Mà: $(\Sigma \sqrt[3]{ab})^2=...........$ (nhân ra)$\geq 6+\Sigma \sqrt[3]{(ab)^2}$ (do $abc=1$).
$\Rightarrow đpcm$
lắm vậy chị @@??? lạy má @@ –  Tạ Tú Anh 14-07-16 04:26 PM
triển nữa chắc cái này nó thành 1 topic mất :V :V Chém ác quá r –  ☼SunShine❤️ 16-05-16 06:06 AM
triển tiếp đi bà :D –  Confusion 15-05-16 12:54 PM
để CM bài này còn cách ad bđt Svac-> C-S -> AM-GM , và có bài toán tg tự nữa ;) –  ☼SunShine❤️ 14-05-16 02:02 PM
à ừm, nhiều giải quá anh hoa mắt –  ๖ۣۜDevilღ 13-05-16 06:28 PM
e đang đưa về bài của Judal, còn nếu a muốn bản gốc, co a xem cách nữa :D –  Confusion 13-05-16 06:26 PM
đề khách nhau mà –  ๖ۣۜDevilღ 13-05-16 06:25 PM
gì là gì???? là sao??? e ko hiểu –  Confusion 13-05-16 06:22 PM
gì đây Linh -_- –  ๖ۣۜDevilღ 13-05-16 06:19 PM
Cách 5:.(Sử dụng BĐT trung gian)
Trước hêt, ta c/m BĐT đại diện: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}} }$
                                               $\Leftrightarrow (\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}})^2\geq a^{\frac{2}{3}}(a^2+8bc).$
Thật vậy, ta có: $(\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}})^2-(a^{\frac{4}{3}})^2=(b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}).(2a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})\geq (2b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{4}{3}})(4a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}})=8a^{\frac{2}{3}}bc.$
Suy ra:: $(\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}})^2\geq (a^{\frac{4}{3}})^2+8a^{\frac{2}{3}}bc=a^{\frac{2}{3}}(a^2+8bc).$
Vậy: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}};...............$
Từ đó, cộng 2 vế 3 bđt cùng chiều suy ra đpcm
Cách 4: Vận dụng BĐT Bunyakoxsky
Ta có:
$(a+b+c)^2\leq (\sum_{}^{}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).(\sum_{}^{}a\sqrt{a^2+8bc})  =(\sum_{}^{}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).(\sum_{}^{}\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc})\leq  (\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)}\leq (\sum_{}^{}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).\sqrt{(a+b+c)(a+b+c)^3}.   $
$\Rightarrow .................$
Cách 3: Vận dụng BĐT Chebyshev, Cauchy, Bunyakovsky.
Không giảm tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$
$P\geq \sum_{}^{} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6bc}}\geq\frac{1}{3}.(a+b+c).(\sum_{}^{} \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6bc}})\geq \frac{1}{3}.(a+b+c).\frac{9}{\sum_{}^{}\sqrt{a^2+b^2+c^2+6bc} }\geq \frac{1}{3}.(a+b+c).\frac{9}{\sqrt{3[\sum_{}^{} }(a^2+b^2+6bc)]}=1$
$\Rightarrow ..................$ 
đang biến về bài của Judal :D –  Confusion 12-05-16 10:21 AM
vui lòng đọc "kĩ" lại để biết thêm chi tiết –  tran85295 12-05-16 10:18 AM
ông nói gà bà nói vịt, còn kêu mệt -_- –  Confusion 12-05-16 10:16 AM
thôi mệt quá ko cãi nữa :3 bỏ qua –  tran85295 12-05-16 10:11 AM
đang nói là cái SIGMA hay PI chứ có nói SYM hay CYC gì đâu -_- –  Confusion 12-05-16 10:10 AM
trong nhiều trường hợp ko cần ghi người ta cũng hiểu ngầm là hoán vị hoặc đối xứng nên thường ghi tắt –  tran85295 12-05-16 10:06 AM
đó là ghi tắt thôi đầy đủ là ghi có chữ ở dưới –  tran85295 12-05-16 10:05 AM
sách của tui có chỉ dùng sigma thôi –  Confusion 12-05-16 10:04 AM
tích hoán vị là $\Pi_{cyc}$ :)))) –  tran85295 12-05-16 10:02 AM
đó là tích hoán vị chứ?? –  Confusion 12-05-16 10:00 AM
tổng hoán vị là $\sum_{cyc}$ –  tran85295 12-05-16 10:00 AM
ủa??? là tổng hoán vị mà nhỉ??? –  Confusion 12-05-16 09:57 AM
$\sum_{sym}$ là tổng đối xứng mà :v dùng trong TH này là sai đó :v –  tran85295 12-05-16 07:56 AM
Cách 2: (Vận dụng hàm số)
Xét hàm số: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ Ta có:
$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$
$\rightarrow $ đồ thị h/s $f(x)$ lõm trên $(0;+\infty)$
Sử dụng BĐT Jensen ta được: 
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum  a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\sum a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f\left(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}\right)=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$
Đến đây thì ok r!!
phiếu bị khóa r ko hủy đc –  tran85295 12-05-16 10:01 AM
mệt mún chết -_-, hủy vote hộ cái, max r >.> –  Confusion 12-05-16 09:57 AM
rảnh rỗi nhỉ :)))) –  tran85295 12-05-16 07:51 AM
trang nhiêu z? dạo này ít đọc :( –  Confusion 11-05-16 11:22 PM
STBĐT có mấy cách nữa thì p :D coi đi –  ☼SunShine❤️ 11-05-16 11:13 PM
Ý tưởng là đưa về biểu thức như của bạn  [___Judal___], ngại gõ nên copy lại bài đã đăng ( thông cảm vì các biến hơi lộn xộn) :D
Đặt x=aa+b+c;y=..;z=...
⇒x+y+z=1 và BĐT đã cho trở thành: P=Σxx2+8yz≥1
A/d Cauchy: 
xx2+8yz+xx2+8yz+x(x2+8yz)≥3x⇔2xx2+8yz+x(x2+8yz)≥3x
tg tự:.....
Cộng 3 BĐT cùng chiều dc: 2P+x3+y3+z3+24xyz≥3
Mặt khác: 1=(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x)≥x3+y3+z3+24xyz
⇒2P≥3−(x3+y3+z3+24xyz)≥3−1=2⇒P≥1(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z hay 
các phụ đề:....
  • $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$
  • BĐT bunhia dạng phân thức
đặt $a=\frac{yz}{x^{2}};b=\frac{zx}{y^{2}};c=\frac{xy}{z^{2}}$ thì ta có
$VT=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+...+...=\frac{x^{2}}{x\sqrt{x^{2}+8yz}}+...+...\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{x}.\sqrt{x^{3}+8xyz}+...+...}$
       $\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3}+24xyz)}}\geq 1$
dấu bằng khi $a=b=c=1$
^^....hay đấy chứ... –  [_đéo_có_tên_] 11-05-16 10:54 PM
mihf cx đưa về c/m theo biểu thức của bạn –  Confusion 11-05-16 10:20 PM
đúng thì tich cho [___Judal___] nha.! –  [_đéo_có_tên_] 08-05-16 06:30 AM
đặt $x=\frac{1}{\sqrt{1+8a}}$
tương tự $y,z$
ta có $0<x,y,z<1$ và $a=\frac{1-x^2}{8x}$
do $abc=1$ nên ta có $8x^3y^3z^3=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$
Theo đề bài cần cm $x+y+z\geq 1$
Giả sử ngược lại $x+y+z<1$
 ta có $1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(z+y)[(x+y)+(x+z)]\geq 2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}>0$
tương tự rồi nhân vế theo về ta có:
$8x^3y^3z=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 $ 
$\Rightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x)$
Điều này mâu thuẫ với AM-GM
 do đó ta có điều phải chứng minh
e tưởng phản chứng để cm bấy bdt dạng đánh giá :3 –  tran85295 08-05-16 03:30 PM
phản chứng ha... –  [_đéo_có_tên_] 08-05-16 06:17 AM
haha, ca đăng trước rồi ý –  ๖ۣۜDevilღ 07-05-16 11:30 PM
oái! e ms bl bên trên –  Confusion 07-05-16 11:29 PM

đặt x=11+8a
tương tự y,z
ta có 0<x,y,z<1 và a=1−x28x
do abc=1 nên ta có 8x3y3z3=(1−x2)(1−y2)(1−z2)
Theo đề bài cần cm x+y+z≥1
Giả sử ngược lại x+y+z<1
 ta có 1−x2>(x+y+z)2−x2=(z+y)[(x+y)+(x+z)]≥2(y+z)(x+y)(x+z)>0
tương tự rồi nhân vế theo về ta có:
8x3y3z=(1−x2)(1−y2)(1−z2)>8(x+y)2(y+z)2(z+x)2 
⇒8xyz>(x+y)(y+z)(z+x)
Điều này mâu thuẫ với AM-GM
 do đó ta có điều phải chứng minh
what? what are you doing???? –  Confusion 08-08-16 02:55 PM

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chat chit và chém gió
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:01 AM
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:03 AM
  • wolf linhvân: 222 9/17/2017 7:22:51 AM
  • dominhdai2k2: u 9/21/2017 7:31:33 AM
  • arima sama: helllo m 10/8/2017 6:49:28 AM
  • ๖ۣۜGemღ: Mọi người có thắc mắc hay cần hỗ trợ gì thì gửi tại đây nhé https://goo.gl/dCdkAc 12/6/2017 8:53:25 PM
  • anhkind: hi mọi người mk là thành viên mới nè 12/28/2017 10:46:02 AM
  • anhkind: party 12/28/2017 10:46:28 AM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:24 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: .. 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:34 PM
  • ๖ۣۜBossღ: c 3/2/2018 9:20:18 PM
  • nguoidensau2k2: hello 4/21/2018 7:46:14 PM
  • ☼SunShine❤️: Vẫn vậy <3 7/31/2018 8:38:39 AM
  • ☼SunShine❤️: Bên này text chữ vẫn đẹp nhất <3 7/31/2018 8:38:52 AM
  • ☼SunShine❤️: @@ lại càng đẹp <3 7/31/2018 8:38:59 AM
  • ☼SunShine❤️: Hạnh phúc thế sad mấy câu hỏi vớ vẩn hồi trẩu vẫn hơn 1k xem 7/31/2018 8:41:00 AM
  • tuyencr123: vdfvvd 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: bb 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:07 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:38 PM
  • Tríp Bô Hắc: cho hỏi lúc đăng câu hỏi em có thấy dòng cuối là tabs vậy ghi gì vào tabs vậy ạ 7/15/2019 7:36:37 PM
  • khanhhuyen2492006: hi 3/19/2020 7:33:03 PM
  • ngoduchien36: hdbnwsbdniqwjagvb 11/17/2020 2:36:40 PM
  • tongthiminhhangbg: hello 6/13/2021 2:22:13 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • hoàng anh thọ
  • Thu Hằng
  • Xusint
  • HọcTạiNhà
  • lilluv6969
  • ductoan933
  • Tiến Thực
  • my96thaibinh
  • 01668256114abc
  • Love_Chishikitori
  • meocon_loveky
  • gaprodianguc95
  • smallhouse253
  • hangnguyen.hn95.hn
  • nguyencongtrung9744
  • tart
  • kto138
  • dphonglkbq
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • huyhieu10.11.1999
  • phungduyen1403
  • lalinky.ltml1212
  • trananhvan12315
  • linh31485
  • thananh133
  • Confusion
  • Hàn Thiên Dii
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • dinhtuyetanh000
  • LeQuynh
  • tuanmotrach
  • bac1024578
  • truonglinhyentrung
  • Lê Giang
  • Levanbin147896325
  • anhquynhthivu
  • thuphuong30012003