Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tích bằng 1. Cm:

Question

$\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}} \ge 1$

không dầm không dám!! mà khi nào rảnh up, bài dài, tốn t/g... :)
mk mới tìm đk 3 cách....ai biết cách thứ 4 thì cho mk yết kiến nha..!!
thật ra có cách ko cần dùng đến phản chứng mọi người ạ....
hôm nay thánh bđt bị sao mak hỏi toàn câu ngớ ngẩn z?
mấy thánh của tôi ơi,cứ cao siêu chi để mak ko ra

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido · Answer 1 · 5/19/2016 3:08:30 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Lời cuối:

Mở rộng:

$\Sigma \frac{a}{\sqrt{a^2+kbc}}\geq \frac{3}{\sqrt{k+1}}$ với

$k\geq 8.$

Cách chứng minh cũng tương tự.

P/s: Đừng spam mình nhé! :))

Trò chơi kết thúc

~GAME OVER~

lịch sử

Sửa 19-05-16 03:08 PM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
1

10M 1M

Trả lời 19-05-16 02:58 PM

Confusion
408 6

164K 882K

đúng rảnh rỗi luôn :)) – tran85295 19-05-16 03:24 PM

bạn Trần Hoàng Nam đừng có bình luận nhảm nhí dưới lời giải của người khác ==" – Confusion 19-05-16 03:12 PM

:V....... – @_@ *Mèo9119* @_@ 19-05-16 03:11 PM

7 màu............................................... – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 19-05-16 03:10 PM

ôi, laị max òi :((, oln nick khác :)) – Confusion 19-05-16 03:08 PM

rảnh nhỉ :)) – tran85295 19-05-16 03:07 PM

nao lm bài dài cho mỗi dòng 1 màu :)) – Confusion 19-05-16 03:07 PM

6 màu :v – @_@ *Mèo9119* @_@ 19-05-16 03:05 PM

đa sắc màu quá :D – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 19-05-16 03:04 PM

Confusion · Answer 2 · 5/19/2016 2:52:33 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Cách

$8:$

Ta có:

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{1}{2}(a^2+2)$

$\Rightarrow \sqrt{1+8a}\leq \frac{1}{2}(2+4\sqrt[3]{a^3})$

Tương tự:................................

$\rightarrow$ Cần c/m:

$\Sigma \frac{1}{1+2\sqrt[3]{a^2}}\geq 1$

Ta có biến đổi:

$VT=\Sigma \frac{\sqrt[3]{(abc)^2}}{\sqrt[3]{(abc)^2}+2\sqrt[3]{a^2}}=\Sigma \frac{\sqrt[3]{(ab)^2}}{\sqrt[3]{(ab)^2}+2}\geq \frac{(\Sigma \sqrt[3]{ab})^2}{6+\Sigma \sqrt[3]{(ab)^2}}$ (do

$abc=1$ )

Mà:

$(\Sigma \sqrt[3]{ab})^2=...........$ (nhân ra)

$\geq 6+\Sigma \sqrt[3]{(ab)^2}$ (do

$abc=1$ ).

$\Rightarrow đpcm$

Trả lời 19-05-16 02:52 PM

Confusion
408 6

164K 882K

lắm vậy chị @@??? lạy má @@ – Tạ Tú Anh 14-07-16 04:26 PM

Confusion · Answer 3 · 5/13/2016 6:00:26 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Trả lời 13-05-16 06:00 PM

Confusion
408 6

164K 882K

triển nữa chắc cái này nó thành 1 topic mất :V :V Chém ác quá r – ☼SunShine❤️ 16-05-16 06:06 AM

triển tiếp đi bà :D – Confusion 15-05-16 12:54 PM

để CM bài này còn cách ad bđt Svac-> C-S -> AM-GM , và có bài toán tg tự nữa ;) – ☼SunShine❤️ 14-05-16 02:02 PM

à ừm, nhiều giải quá anh hoa mắt – ๖ۣۜDevilღ 13-05-16 06:28 PM

e đang đưa về bài của Judal, còn nếu a muốn bản gốc, co a xem cách nữa :D – Confusion 13-05-16 06:26 PM

đề khách nhau mà – ๖ۣۜDevilღ 13-05-16 06:25 PM

gì là gì???? là sao??? e ko hiểu – Confusion 13-05-16 06:22 PM

gì đây Linh -_- – ๖ۣۜDevilღ 13-05-16 06:19 PM

Confusion · Answer 4 · 5/13/2016 6:00:01 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Trả lời 13-05-16 06:00 PM

Confusion
408 6

164K 882K

Confusion · Answer 5 · 5/13/2016 5:34:00 PM

Cách 5:.(Sử dụng BĐT trung gian)

Trước hêt, ta c/m BĐT đại diện:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}} }$

$\Leftrightarrow (\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}})^2\geq a^{\frac{2}{3}}(a^2+8bc).$

Thật vậy, ta có:

$(\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}})^2-(a^{\frac{4}{3}})^2=(b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}).(2a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})\geq (2b^{\frac{2}{3}}c^{\frac{4}{3}})(4a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}})=8a^{\frac{2}{3}}bc.$

Suy ra::

$(\sum_{}^{}a^{\frac{4}{3}})^2\geq (a^{\frac{4}{3}})^2+8a^{\frac{2}{3}}bc=a^{\frac{2}{3}}(a^2+8bc).$

Vậy:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}};...............$

Từ đó, cộng 2 vế 3 bđt cùng chiều suy ra đpcm

Confusion · Answer 6 · 5/13/2016 5:33:14 PM

Bình chọn tăng 16 Bình chọn giảm

Cách 4: Vận dụng BĐT Bunyakoxsky

Ta có:

$(a+b+c)^2\leq (\sum_{}^{}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).(\sum_{}^{}a\sqrt{a^2+8bc}) =(\sum_{}^{}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).(\sum_{}^{}\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc})\leq (\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)}\leq (\sum_{}^{}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}).\sqrt{(a+b+c)(a+b+c)^3}.$

$\Rightarrow .................$

lịch sử

Sửa 13-05-16 05:33 PM

Confusion
408 6

164K 882K

Trả lời 11-05-16 11:35 PM

Confusion
408 6

164K 882K

Confusion · Answer 7 · 5/13/2016 5:32:35 PM

Bình chọn tăng 16 Bình chọn giảm

Cách 3: Vận dụng BĐT Chebyshev, Cauchy, Bunyakovsky.

Không giảm tính tổng quát, giả sử

$a\geq b\geq c$

$P\geq \sum_{}^{} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6bc}}\geq\frac{1}{3}.(a+b+c).(\sum_{}^{} \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+6bc}})\geq \frac{1}{3}.(a+b+c).\frac{9}{\sum_{}^{}\sqrt{a^2+b^2+c^2+6bc} }\geq \frac{1}{3}.(a+b+c).\frac{9}{\sqrt{3[\sum_{}^{} }(a^2+b^2+6bc)]}=1$

$\Rightarrow ..................$

lịch sử

Sửa 13-05-16 05:32 PM

Confusion
408 6

164K 882K

Trả lời 11-05-16 11:21 PM

Confusion
408 6

164K 882K

đang biến về bài của Judal :D – Confusion 12-05-16 10:21 AM

vui lòng đọc "kĩ" lại để biết thêm chi tiết – tran85295 12-05-16 10:18 AM

ông nói gà bà nói vịt, còn kêu mệt -_- – Confusion 12-05-16 10:16 AM

thôi mệt quá ko cãi nữa :3 bỏ qua – tran85295 12-05-16 10:11 AM

đang nói là cái SIGMA hay PI chứ có nói SYM hay CYC gì đâu -_- – Confusion 12-05-16 10:10 AM

trong nhiều trường hợp ko cần ghi người ta cũng hiểu ngầm là hoán vị hoặc đối xứng nên thường ghi tắt – tran85295 12-05-16 10:06 AM

đó là ghi tắt thôi đầy đủ là ghi có chữ ở dưới – tran85295 12-05-16 10:05 AM

sách của tui có chỉ dùng sigma thôi – Confusion 12-05-16 10:04 AM

tích hoán vị là

$\Pi_{cyc}$ :)))) – tran85295 12-05-16 10:02 AM

đó là tích hoán vị chứ?? – Confusion 12-05-16 10:00 AM

tổng hoán vị là

$\sum_{cyc}$ – tran85295 12-05-16 10:00 AM

ủa??? là tổng hoán vị mà nhỉ??? – Confusion 12-05-16 09:57 AM

$\sum_{sym}$ là tổng đối xứng mà :v dùng trong TH này là sai đó :v – tran85295 12-05-16 07:56 AM

tran85295 · Answer 8 · 5/12/2016 10:10:52 AM

Bình chọn tăng 16 Bình chọn giảm

Cách 2: (Vận dụng hàm số)

Xét hàm số:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng

$(0; +\infty)$ Ta có:

$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x^3}},f"(x)=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{x^5}}>0\forall x>0.$

$\rightarrow$ đồ thị h/s

$f(x)$ lõm trên

$(0;+\infty)$

Sử dụng BĐT Jensen ta được:

$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=\sum a.f(a^2+8bc)\geq (a+b+c).f[\frac{\sum a(a^2+8bc)}{a+b+c}]=(a+b+c).f\left(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}\right)=\frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{a+b+c}}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+c}}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=1$

Đến đây thì ok r!!

lịch sử

Sửa 12-05-16 10:10 AM

tran85295
21 2

10M 559K

Trả lời 11-05-16 11:11 PM

Confusion
408 6

164K 882K

phiếu bị khóa r ko hủy đc – tran85295 12-05-16 10:01 AM

mệt mún chết -_-, hủy vote hộ cái, max r >.> – Confusion 12-05-16 09:57 AM

rảnh rỗi nhỉ :)))) – tran85295 12-05-16 07:51 AM

trang nhiêu z? dạo này ít đọc :( – Confusion 11-05-16 11:22 PM

STBĐT có mấy cách nữa thì p :D coi đi – ☼SunShine❤️ 11-05-16 11:13 PM

Confusion · Answer 9 · 5/11/2016 10:47:15 PM

Ý tưởng là đưa về biểu thức như của bạn [___Judal___], ngại gõ nên copy lại bài đã đăng ( thông cảm vì các biến hơi lộn xộn) :D

Đặt

x = \frac{a}{a + b + c}; y = . .; z = . . .

\Rightarrow x + y + z = 1

và BĐT đã cho trở thành:

P = Σ \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 8 y z}} \geq 1

A/d Cauchy:

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 8 y z}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 8 y z}} + x (x^{2} + 8 y z) \geq 3 x \Leftrightarrow \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 8 y z}} + x (x^{2} + 8 y z) \geq 3 x

tg tự:.....

Cộng 3 BĐT cùng chiều dc:

2 P + x^{3} + y^{3} + z^{3} + 24 x y z \geq 3

Mặt khác:

1 = (x + y + z)^{3} = x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3 (x + y) (y + z) (z + x) \geq x^{3} + y^{3} + z^{3} + 24 x y z

\Rightarrow 2 P \geq 3 - (x^{3} + y^{3} + z^{3} + 24 x y z) \geq 3 - 1 = 2 \Rightarrow P \geq 1 (đ p c m)

Đẳng thức xảy ra khi

x = y = z

hay

a = b = c

score 19 · Answer 10

Bình chọn tăng 19 Bình chọn giảm

các phụ đề:....

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$
BĐT bunhia dạng phân thức

đặt $a=\frac{yz}{x^{2}};b=\frac{zx}{y^{2}};c=\frac{xy}{z^{2}}$ thì ta có

$VT=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+...+...=\frac{x^{2}}{x\sqrt{x^{2}+8yz}}+...+...\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{x}.\sqrt{x^{3}+8xyz}+...+...}$

$\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3}+24xyz)}}\geq 1$

dấu bằng khi $a=b=c=1$

^^....hay đấy chứ... – [_đéo_có_tên_] 11-05-16 10:54 PM

mihf cx đưa về c/m theo biểu thức của bạn – Confusion 11-05-16 10:20 PM

đúng thì tich cho [___Judal___] nha.! – [_đéo_có_tên_] 08-05-16 06:30 AM

๖ۣۜDevilღ · Answer 11 · 5/7/2016 11:27:06 PM

Bình chọn tăng 14 Bình chọn giảm

đặt

$x=\frac{1}{\sqrt{1+8a}}$

tương tự

$y,z$

ta có

$0<x,y,z<1$ và

$a=\frac{1-x^2}{8x}$

do

$abc=1$ nên ta có

$8x^3y^3z^3=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)$

Theo đề bài cần cm

$x+y+z\geq 1$

Giả sử ngược lại

$x+y+z<1$

ta có

$1-x^2>(x+y+z)^2-x^2=(z+y)[(x+y)+(x+z)]\geq 2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}>0$

tương tự rồi nhân vế theo về ta có:

$8x^3y^3z=(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)>8(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2$

$\Rightarrow 8xyz>(x+y)(y+z)(z+x)$

Điều này mâu thuẫ với AM-GM

do đó ta có điều phải chứng minh

Trả lời 07-05-16 11:27 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

e tưởng phản chứng để cm bấy bdt dạng đánh giá :3 – tran85295 08-05-16 03:30 PM

phản chứng ha... – [_đéo_có_tên_] 08-05-16 06:17 AM

haha, ca đăng trước rồi ý – ๖ۣۜDevilღ 07-05-16 11:30 PM

oái! e ms bl bên trên – Confusion 07-05-16 11:29 PM

score 2 · Answer 12

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Bình chọn giảm

đặt

x = \frac{1}{\sqrt{1 + 8 a}}

tương tự

y, z

ta có

0 < x, y, z < 1

và

a = \frac{1 - x^{2}}{8 x}

do

a b c = 1

nên ta có

8 x^{3} y^{3} z^{3} = (1 - x^{2}) (1 - y^{2}) (1 - z^{2})

Theo đề bài cần cm

x + y + z \geq 1

Giả sử ngược lại

x + y + z < 1

ta có

1 - x^{2} > (x + y + z)^{2} - x^{2} = (z + y) [(x + y) + (x + z)] \geq 2 (y + z) \sqrt{(x + y) (x + z)} > 0

tương tự rồi nhân vế theo về ta có:

8 x^{3} y^{3} z = (1 - x^{2}) (1 - y^{2}) (1 - z^{2}) > 8 (x + y)^{2} (y + z)^{2} (z + x)^{2}

\Rightarrow 8 x y z > (x + y) (y + z) (z + x)

Điều này mâu thuẫ với AM-GM

do đó ta có điều phải chứng minh

what? what are you doing???? – Confusion 08-08-16 02:55 PM

Hỏi	07-05-16 09:31 PM
Lượt xem	9347
Hoạt động	08-08-16 12:20 PM

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tích bằng 1. Cm:

12 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cho a,b,ca,b,c là các số thực dương có tích bằng 1. Cm:

12 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tích bằng 1. Cm: