Nếu đề cho $x,y,z$ ko âm
Không mất tính tổng quát, giả sử $x=\min\{x,y,z\}$
~~~~~~~
Ta có $P=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2} \le \frac{x}{1+0^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+0^2}=x+z+\frac{y}{1+z^2}$
Ta sẽ chứng minh $x+z+\frac{y}{1+z^2} \le3\Leftrightarrow \frac{y}{1+z^2} \le y$ (*)
*TH1 :Nếu $y=0$ thì (*) đúng
*TH 2: Nếu $y \ne0$ thì (*)$\Leftrightarrow \frac{1}{1+z^2} \le1\Leftrightarrow z^2 \ge 0$ (luôn đúng)
~~~~~~~~~~~
Vậy $\max P=3$
*Xét TH1 đẳng thức xảy ra khi $x=y=0,z=3$
*Xét TH2 đẳng thức ko xảy ra
$\Rightarrow$ đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 trong 3 biến x,y,z có giá trị là 0 và biến còn lại có giá trị là 3