Bài 3:
Phân tích: Như thường lệ, ta sẽ phân tích phương trình (1). Có một điểm lưu ý là ở phương trình (1) đề là phương trình bậc 2 đối với biến x hay biến y. Dó đó, các em có thể chọn đới với biến nào cũng được. Và dù chọn biến nào thì kết quả của bài toán sau khi thu gọn cũng là một. Đồng thời, nếu như biến x mà có denta không chính phương thì hiển nhiên biến ý cũng vậy, các em không cần nháp! Giả sử với bài toán này ta coi là biến $y$:
$(1)\Leftrightarrow y^2-(3x+2)y+2x^2+3x+1=0$
$\Delta y=(3x+2)^2-4(2x^2+3x+1)^2=x^2$
$\rightarrow y=\frac{(3x+2)\pm x}{2}$
Do đó, ta sẽ có 2 trường hợp là $y=x+1$ và $y=2x+1$
Ở mỗi trường hợp, thì ta đều thay vào phương trình (2) và thua được phương trình có bậc 2, căn bậc 2 phương pháp giải ở đây sẽ có:
+Đặt ẩn phụ
+Bình phương 2 vế
+Dùng hàm số
+Nhân liên hợp
Bạn đọc tự nhìn nhận để chọn phương pháp cho phù hợp. Lưu ý rằng, khi sử dụng máy tihs ra nghiệm đẹp thì phưng pháp nhân liên hợp là phương pháp được ưu tiên hơn cả.
Lời Giải Chi Tiết:
Điều kiện $2x+y\geq 0$ ;$x+4y\geq 0$
Từ (1) ta được $y=x+1$ ; $y=2x+1$
*** Với $y=x+1$ ta thay vào (2) ta được
$3x^2-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+1}$
$\Leftrightarrow 3(x^2-x)+(x+1-\sqrt{3x+1})+(x+2-\sqrt{5x+1})=0$
$\Leftrightarrow (x^2-x)(3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}})=0$
$\Leftrightarrow x^2-x=0 \Leftrightarrow x=0 $ hoặc $x=1$ $\Rightarrow (x,y)=(0,1);(1,2)$
*** với $y=2x+1$ thay vào (2) ta được
$3-3x=\sqrt{4x+1}+\sqrt{9x+4}=0$
$\Leftrightarrow 3x+(\sqrt{4x+1}-1)+(\sqrt{9x+4}-2)=0$
$x(3+\frac{4}{\sqrt{4x+1}+1}+\frac{9}{\sqrt{9x+4}+2})=0\Leftrightarrow x=0$
Trùng với nghiệm ở trường hợp I
vậy $(x,y)=(0,1);(1,2)$