a trai giúp e

Question

Chứng minh rằng phương trình:

$x^{5}+x+1=0$ có một nghiệm duy nhất:

$x=\frac{1}{3}(1-\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}})$

score 5 · Answer 1

Bạn hãy tự chứng

$x^5+x+1=0$ (1) có nghiệm duy nhất.

Dễ thấy rằng: (1)

$\Leftrightarrow x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)=0$

$\Leftrightarrow x^3-x^2+1=0$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})^3-\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})+\frac{25}{27}=0$ (2).

Suy ra nghiệm của (1) chính là nghiệm của (2) và ngược lại. Vì (1) có nghiệm duy nhất nên (2) cũng có nghiệm duy nhất.

Giả sử

$u=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}$ và

$v=\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}$ . Kiểm tra dễ dàng

$u^3+v^3=25$ và

$uv=1$ .

Với

$x=\frac{1}{3}(1-u-v)$ hay

$x-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}(u+v)$ thì vế trái của (2) bằng:

$-\frac{1}{27}[(u^3+v^3)+3vu(u+v)]+\frac{1}{9}(u+v)+\frac{25}{27}=-\frac{1}{27}[25+3(u+v)]+\frac{1}{9}(u+v)+\frac{25}{27}$

$=0$ .

Suy ra

$x=\frac{1}{3}(1-u-v)$ là nghiệm của (2), và nó cũng chính là nghiệm của (1).

1 Đáp án