Từ điều kiện đề bài suy ra $x-y=3-z$ và $x^2+y^2=5-z^2$. Từ đó suy ra $(x+y)^2 = 2(x^2+y^2)-(x-y)^2=-3z^2+6z+1$ (1).
Do đó $-3z^2+6z+1\geq0$, suy ra $\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq z \leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ (2). Điều này chứng tỏ $z+2>0$ (3).
Từ (1) và (3) suy ra $P\leq \frac{|x+y|-2}{z+2}=\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}$.
Giả sử $\frac{1}{z+2}=t$, vì (2) nên $\frac{9-2\sqrt{3}}{23}\leq t \leq \frac{9+2\sqrt{3}}{23}$ (4).
Khi đó có $z=\frac{1-2t}{t}$, đồng thời
$\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$.
Đến đây bạn có thể tìm giá trị lớn nhất của $f(t)=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$ với $t$ thỏa mãn điều kiện (4).