cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn: $\begin{cases}x-y+z=3 \\ x^2+y^2+z^2=5 \end{cases}$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{x+y-2}{z+2}$

Question

cho các số thực

$x,y,z$ thỏa mãn:

$\begin{cases}x-y+z=3 \\ x^2+y^2+z^2=5 \end{cases}$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{x+y-2}{z+2}$

score 6 · Answer 1

Từ điều kiện đề bài suy ra

$x-y=3-z$ và

$x^2+y^2=5-z^2$ .

Từ đó suy ra

$(x+y)^2 = 2(x^2+y^2)-(x-y)^2=-3z^2+6z+1$ (1).

Do đó

$-3z^2+6z+1\geq0$ , suy ra

$\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\leq z \leq \frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ (2). Điều này chứng tỏ

$z+2>0$ (3).

Từ (1) và (3) suy ra

$P\leq \frac{|x+y|-2}{z+2}=\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}$ .

Giả sử

$\frac{1}{z+2}=t$ , vì (2) nên

$\frac{9-2\sqrt{3}}{23}\leq t \leq \frac{9+2\sqrt{3}}{23}$ (4).

Khi đó có

$z=\frac{1-2t}{t}$ , đồng thời

$\frac{\sqrt{-3z^2+6z+1}-2}{z+2}=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$ .

Đến đây bạn có thể tìm giá trị lớn nhất của

$f(t)=\sqrt{-23t^2+18t-3}-2t$ với

$t$ thỏa mãn điều kiện (4).

1 Đáp án