Điều kiện: x≥−2,x≠12 (còn gì thiếu thì bổ sung hộ mình nha)
*) Nếu x>12⇔3√2x−3−3>0 ( Trường hợp x<12 thì chứng minh tương tự nha bạn, chỉ cần thay '\geq' thành '\leq ')
BPT\Leftrightarrow (\sqrt{x+4}+1)(\sqrt{x+4}-1)(\sqrt[3]{2x+3}-3)\sqrt{x+2}\geq x(x+1)(x+3)-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}
\Leftrightarrow (x+3)(\sqrt[3]{2x+3}-3)\sqrt{x+2}\geq x(x+1)(x+3)-2(x+3)\sqrt[3]{2x+3}
\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3}-3)\sqrt{x+2}\geq x(x+1)-2\sqrt[3]{2x+3}( vì x+3>0)
\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x+3}-3)(\sqrt{x+2}+2)\geq x^2+x-6=(x+3)(x-2) (*)
+) Nếu x=2 thì .....
+) Nếu x>2( x<2 thì chứng minh tương tự, chỉ cần đổi dấu) thì \sqrt{x+2}-2>0
Khi đó (*) có dạng: (\sqrt[3]{2x+3}-3)(x-2)\geq (x+3)(x-2)(\sqrt{x+2}-2)
\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}-3\geq (x+2)\sqrt{x+2}-2x-6
Đặt \sqrt[3]{2x+3}=a, \sqrt{x+2}=b thì sẽ trở thành:
a^3+a\geq b^3+b\Leftrightarrow a\geq b\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3}\geq \sqrt{x+2}
Đến đây chắc bạn tự làm tiếp được rồi nhỉ ( mũ 6 lên), nhớ kèm theo cả điều kiện xác định nha, hihi
Có gì thắc mắc cứ bảo mình, đúng thì tích giùm mình nha hihi!!