lim x-->1;((m/(1-x^m))-((n/1-x^n))
L = Lim [ [( m/ 1- x^m ) - ( 1/ 1- x )] - [( n / 1- x^n ) - ( 1/ 1-x )] ] ( 1 )
x->1
Xét L1 = Lim [( m/ 1- x^m ) - ( 1/ 1- x )]
x->1
Giới hạn L1 có dạng ( vô cùng - vô cùng ) nên ta đưa nó về dạng 0/0.
Ta có:
L1 = Lim [m- (1+ x + x^2 + .....+ x^(m-1))] / [ 1- x^m ]
x->1
= Lim [ (1-x) + (1-x^2) +...... + (1 - x^(m-1)] / [ 1- x^m ]
x->1
= Lim (x->1) của [(1-x)[1+(1+x)+...+(1+x+x^2+...+x^(m-2))... trên
[(1-x)[1+(1+x+x^2+...+x^(m-1))]
= [ 1 + x + x^2+.....+(m-1) ] / m
= m(m-1) / 2m = (m-1) / 2 (2)
Tương tự ta có :
L2 = ( m-1 ) / 2 ( 3 )
Thay (2) và (3) vào ( 1)
L= L1 - L2 = [(n-1) / 2] / [( m-1 ) / 2] = (m-n) / 2