$$\color{green}{\begin{cases}2y^{4}-y^{2}\sqrt{4x+3}-3=4x............................(1) \\ (27x^{3}+63x^{2}+43x+7)(y^{2}+1)=16x^{2}+24x+8.......(2) \end{cases}}$$Điều kiện: $x \ge -\frac{3}{4}.$
$(1)\Leftrightarrow (y^2-\sqrt{4x+3})(2y^2+\sqrt{4x+3})=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y^2=\sqrt{4x+3}\\ 2y^2+\sqrt{4x+3}=0\Rightarrow y=2;x=-\frac{3}{4} (loại) \end{array} \right.$
Thay $y^2=\sqrt{4x+3}$ vào PT $(2),$ ta được:
$(27x^{3}+63x^{2}+43x+7)(\sqrt{4x+3}+1)=16x^{2}+24x+8$
$\Leftrightarrow (x+1)(27x^{2}+36x+7)(\sqrt{4x+3}+1)=8(x+1)(2x+1)$ (vì $x+1>0,\forall x \ge -\frac{3}{4}.$ )
$\Leftrightarrow (27x^{2}+36x+7)(4x+2)=8(2x+1)(\sqrt{4x+3}-1)$ (vì $x=-\frac{1}{2}$ không phải nghiệm của hệ)
$\Leftrightarrow 27x^2+36x+7=4(\sqrt{4x+3}-1)$
$\Leftrightarrow 27x^2+36x+11=4\sqrt{4x+3}$
$\Leftrightarrow (27x^2+36x+11)^2=16(4x+3)$ $(x \ge \frac{-6+\sqrt{3}}{9})$
$\Leftrightarrow 729x^4+1944x^3+1890x^2+728x+73=0$
$\Leftrightarrow (9x^2+8x+1)(81x^2+144x+73)=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-4+\sqrt 7}{9}\Rightarrow y= \pm \frac{2+\sqrt7}{3}$
Kết luận: hệ đã cho có nghiệm là: $\color{red}{(x;y)=(\frac{-4+\sqrt 7}{9}; \pm \frac{2+\sqrt7}{3})}.$