$I=\int\limits_{0}^{1}xln(x+1)dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}ln(x+1)dx^{2}=\frac{1}{2}x^{2}ln(x+1)|^{1}_{0}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}x^{2}dln(x+1)$
$=\frac{ln2}{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x+1}dx=\frac{ln2}{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}(x-1+\frac{1}{x+1})dx$
$=\frac{ln2}{2}-\frac{1}{2}[\frac{x^{2}}{2}-x+ln(x+1)]|^{1}_{0}=\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}-\frac{ln2}{2}=\frac{1}{4}$