Phân tích: Đường tròn tiếp xúc với $d$ tại $A$ thì $A$ là tiếp điểm, gọi tâm đường tròn là $I$ thì $IA\bot d$ nên suy ra cách giải như sau:
Đường thẳng $d_{1}$ qua $A(4;2)$ và vuông góc với $d$ có vtpt $\overrightarrow{n}=(7;1)$ nên có pt: $7x+y-30=0$
Tâm đường tròn là giao điểm của $d_{1}$ và $\Delta$ nên tọa độ tâm $I$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases}7x+y-30=0 \\ 2x+y=0\end{cases}$.
Giải hệ ta được $\begin{cases}x=6 \\ y=-12\end{cases}$ nên $I(6;-12)$
Bán kính đường tròn là $r=IA=\sqrt{(6-4)^{2}+(-12-2)^{2}}=\sqrt{200}$
Vậy phương trình đường tròn là $(x-6)^{2}+(y+12)^{2}=200$