ta có:$x^{2}-x+\frac{1}{2}>0\forall x\in R$
$\Leftrightarrow 2(x^{2}-x+1)>1\forall x\in R$
$\Leftrightarrow 1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)}<0\forall x\in R$
từ đó
bpt $\Leftrightarrow x-\sqrt{x}\leq 1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)} $ ( $x\geq 0)$
đặt $\sqrt{x}=t(t\geq 0)$
pbt $\Leftrightarrow \sqrt{2(t^{4}-t^{2}+1)}\leq -t^{2}+t+1$ (*)
với $t\in [0;\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$
(*) $\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}-t^{2}-2t+1\leq 0$
$\Leftrightarrow ( t^{2}+t-1)^{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow t^{2}+t-1=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=\frac{\sqrt{5}-1}{2} (tm)\\ t=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} (loại) \end{matrix}} \right.$
$\Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ là nghiệm duy nhất của bất phương trình.