Đk x>0,−3≤y≠0
pt(1)⇔2x2+4y2xy≥−1(∗)
Xét −3≤y<0
(∗)⇔2x2+4y2≤−xy
⇔2x2+xy+4y2≤0⇔(2y+14x)2+3116x2≤0 (luôn sai vì y≠0)
Xét y>0,(∗)⇔2x2+xy+4y2≥0 (luôn đúng ∀x>0,y>0)
⇒x>0,y>0
pt(1)⇔x2+2y2√xy+√xy2=2√(2x−3y)(x+y)
Áp dụng bđt côsi, ta có :
VT=2√(2x−3y)(x+y)≤2√(2x−3y)2+(x+y)22=√10(x2−2xy+2y2)
⇔VT2≤10(x2−2xy+2y2)
⇔(x2+2y2)2xy+xy4+x2+2y2≤(x2−2xy+2y2)
⇔(x2+2y2)2xy+81xy4≤9(x2+2y2)
Mà theo bđt cosi thì (x2+2y2)2xy+81xy4≥9(x2+2y2)
⇒ dấu bằng xảy ra và tại x2+2y2√xy=9√xy2
⇒VT(1)=VP(1)⇔2x2−9xy+4y2=0
⇒pt(1)⇔(x−4y)(2x−y)=0⇔x=4y hoặc y=2x (loại)
Thế x=4y vào (2), rút gọn, bình phương, chuyển vế. Ta đc
29y2+9y+2=4√y(y+3)(4y+1)
Tiếp tục bình phương rút gọn, nhận thấy y=1, dùng lược đồ Hooc-ne đưa về bậc 3 và giải = cardano ta đc thêm 1 nghiệm nữa ( nghiệm xấu ^^)
Tóm lại hệ có 1 nghiệm đẹp (x;y)=(4;1) và 1 nghiệm xấu ( cần thì mình giải chi tiết cho )