Lại bảo ko ai giải được ???

Question

Cho đường tròn

$(O)$ nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự ở M và N.CMR:

$\frac{AM}{BM}+\frac{AN}{NC}=1$

score 2 · Answer 1

Đặt AB=BC=AC=a, AM=x, AN=y,MN=z.

KẺ NH vuông góc AB. Ta thấy

$AH=\frac{y}{2}; NH=\frac{y\sqrt{3}}{2}; HM=x-\frac{y}{2}$ .

Theo định lý Pytago

$MN^{2}=NH^{2}+HM^{2}=(\frac{y\sqrt{3}}{2})^{2} + (x-\frac{y}{2})^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$

Dễ thấy x+y+z=2AD=a. Ta có:

$\frac{AM}{BM}+\frac{AN}{NC}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}=1$

$\Leftrightarrow ...........$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-xy=z^{2}$ (đã chứng minh)

==> ahihi

1 Đáp án