1. x+y=1 <=> (x+y)^3 =1 <=> x^3 +y^3 +3xy(x+y)=1 <=> x^3 + y^3 +3xy=12. a+b= -c => a^3 +b^3 +c^3 =(a+b)^3 - 3ab(a+b) +c^3 = -c^3 -3ab(-c) + c^3 =3abc
3. n^3 +3n^2 +2n= n(n^2 +3n+2)=(n-2)(n-1)n= A
Do A là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên A chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 Nên A chia hết cho 2.3 Hay A chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
4. Đặt a = sin(x) và c = sin(y) x;y thuộc [0;pi]
=> b = cos(x) và d = cos(y)
Mặt khác: ac+bd = 0 <=> sin(x)sin(y) + cos(x)sin(y) =0 <=> cos(x-y) =0 <=> x-y=pi/2 <=> x=y + pi/2
=> ab+cd = sin(x)cos(x) + sin(y)cos(y) = -sin(y)cos(y) - sin(y)cos(y) = 0
5. Ta có: A= x^2 -x-2= (x-2)(x+1)
f(x) = x^4 +9x^3 +21x^2 +ax+b
Để f(x) chia hết cho A với mọi x thì f(x) có dạng A.g(x) Hay f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 2 và -1 (g(x) là 1 đa thức bậc 2 biến x)
=> f(2) = 2^4 +9.2^3 +21.2^2 +2a+b=0
Và f(-1) = (-1)^4 +9.(-1)^3 +21.(-1)^2 -a+b=0
Giải hệ phương trình trên ta được a= -53 và b=-66
Vậy với a =-53 và b=-66 thì f(x) chia hết cho A với mọi x
P/s: Bài 4 bạn có thể giải bằng cách khai triển (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)=1