Bài tìm GTLN cần giải đáp

Question

Cho

$x,y > 0$ thoả

$x^{3} + y^{3} \leq 2$ tìm GTLN của

$x^{2} +y^{2}.$

tran85295 · Answer 1 · 9/7/2015 6:17:42 PM

Áp dụng bđt bunhiacốp ski, ta có :

*

$2.(x+y) \geq(x^3+y^3)(x+y) \geq (x^2+y^2)^2 \color{red}{(\bullet)}$

* áp dụng cho 3 dãy số thực ko âm

$(x.1.1+y.1.1+1.1.1)^3 \leq (x^3+y^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)$

$\Rightarrow(x+y+1)^3 \leq (x^3+y^3+1).9$

$\Rightarrow x+y\leq \sqrt[3]{(x^3+y^3+1).9}-1\leq \sqrt[3]{(2+1).9}-1=3-1=2 \color{red}{(\bullet \bullet)}$

Từ

$\color{red}{(\bullet)},\color{red}{(\bullet \bullet)}\Rightarrow (x^2+y^2)^2 \leq 2.(x+y) \leq 2.2 =4$

$\Rightarrow |x^2+y^2| \leq 2$ và

$x^2+y^2 \geq 0$

$\Rightarrow x^2+y^2\leq 2\Rightarrow GTLN=2$ khi và chỉ khi

$x=1;y=1$

1 Đáp án