a,b,c là cạch tam giác và ha,hb,hc là đường cao, chứng minh hệ thức

Question

chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(h_a+h_b+h_c)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})$

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 1 · 8/26/2015 2:14:32 PM

Ta có: $S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c$ ($S$ là diện tích tam giác)

$\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a};h_b=\frac{2S}{b};h_c=\frac{2S}{c}$

Từ đó ta có:

$(h_a+h_b+h_c)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})=(\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c})(\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S})$

$=2S.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}).\frac{1}{2S}(a+b+c)=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow $ đpcm.

Vậy: $\color{red}{\boxed{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(h_a+h_b+h_c)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})}}$

Trả lời 26-08-15 02:14 PM

★★.P.I.N.O.★★
1 1

2M 4M

gần giống cách em – Ghost rider 26-08-15 06:07 PM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido · Answer 2 · 8/26/2015 11:31:26 AM

Cái này có nhiều cách chứng minh lắm nhưng nếu em nhìn vào mà không thấy ý thì làm như thế này.....

Xét $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$

Tương tự vế phải biến đổi thành:

$3+(\frac{ha}{hb}+\frac{hb}{ha})+(\frac{hb}{hc}+\frac{hc}{hb})+(\frac{ha}{hc}+\frac{hc}{ha})$

Ta có: $S=a.ha=b.hb=c.hc$

Xét: $a.ha=b.hb\Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{hb}{ha}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{hb}{ha}+\frac{ha}{hb}$

CMTT: $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{hc}{hb}+\frac{hb}{hc};\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=\frac{hc}{ha}+\frac{ha}{hc}$

$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(ha+hb+hc)(\frac{1}{ha}+\frac{1}{hb}+\frac{1}{hc})$ (đpcm)

Xong òi..Đúng thì click "V" va thấy có ích thì vote up

Trả lời 26-08-15 11:31 AM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
1

10M 1M

anh đã nói là nếu nhìn ko ra thì làm cách này mà....... – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 26-08-15 08:24 PM

dài thế cách em giống pino – Ghost rider 26-08-15 06:07 PM

2 Đáp án