Cho $a,b,c$ thực thuộc đoạn $\left[ {\frac{1}{2};1} \right]$ Tìm Max:
$P=\left| {\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}} \right|$
Lời giải:
Để ý rằng ta có $\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$
Biểu thức $P$ không đổi qua phép hoán vị vòng quanh $a,b,c$ nên KMTTQ giả sử: $a\geq b\geq c$
Viết lại $P$ dưới dạng $P=f(a)=\frac{b-c}{bc}\left[ {\frac{a^2-(b+c)a+bc}{a}} \right]$
Lấy đạo hàm theo $a$ với $\frac{1}{2} \leq c \leq b \leq a \leq1$
Khi đó ta có $f(a)$ đồng biến trên tập XĐ.
Vậy $f(a)\leq f(1)= \frac{1-b}{c}+c(\frac{1}{b}-1)+b-\frac{1}{b}=g(c)$
Tiếp tục lấy đạo hàm theo biến $c$ ta có $g(c)$ nghịch biến nên $g(c)\leq g(\frac{1}{2})$
Khi đó biểu thức thu được là 1 biến theo $b$.Đến đây bạn có thể xử lí nốt.
Dấu bằng xảy ra khi $a=1,b=\frac{1}{\sqrt{2}},c=\frac{1}{2}$ and cyclic permutations.