Cho a,b,c thực thuộc đoạn [12;1] Tìm Max:
P=|a−bc+b−ca+c−ab|
Lời giải:
Để ý rằng ta có a−bc+b−ca+c−ab=(a−b)(b−c)(c−a)abc
Biểu thức P không đổi qua phép hoán vị vòng quanh a,b,c nên KMTTQ giả sử: a≥b≥c
Viết lại P dưới dạng P=f(a)=b−cbc[a2−(b+c)a+bca]
Lấy đạo hàm theo a với 12≤c≤b≤a≤1
Khi đó ta có f(a) đồng biến trên tập XĐ.
Vậy f(a)≤f(1)=1−bc+c(1b−1)+b−1b=g(c)
Tiếp tục lấy đạo hàm theo biến c ta có g(c) nghịch biến nên g(c)≤g(12)
Khi đó biểu thức thu được là 1 biến theo b.Đến đây bạn có thể xử lí nốt.
Dấu bằng xảy ra khi a=1,b=1√2,c=12 and cyclic permutations.