$\color{red}{\begin{cases}xy^2(1+\sqrt{x^2+1})=y+\sqrt{y^2+1}(1) \\ \frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}+4\sqrt{\frac{1}{xy}+3}=\frac{1}{xy}+8(2) \end{cases}}$ Điều kiện: $-\frac{1}{3}\leq y\leq 2.$
$(2)\Leftrightarrow \frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}=(\sqrt{\frac{1}{xy}+3}-2)^2+1>0\Rightarrow y > \frac{1}{4}.$
$(1)\Leftrightarrow x+x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\sqrt{\frac{1}{y^2}+1}(\bigstar)$
Xét $f(t)=t+t\sqrt{t^2+1},(t \in \mathbb R),$ ta có: $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb R.$ (điều này dễ chứng minh, a khỏi viết)
Do đó: $(\bigstar)\Leftrightarrow x=\frac{1}{y}\Leftrightarrow xy=1.$
Thay vào PT $(2)$ của hệ, ta được:
$\frac{4y-1}{\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}}=1$
$\Leftrightarrow 4y-1=\sqrt{1+3y}+\sqrt{2-y}$
$\Leftrightarrow 4(y-1)=\sqrt{1+3y}-2+\sqrt{2-y}-1$
$\Leftrightarrow (y-1)(\frac{3}{\sqrt{1+3y}+2}-\frac{1}{\sqrt{2-y}+1}-4)=0$
$\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} y=1\Rightarrow x=1\\ \frac{3}{\sqrt{1+3y}+2}=\frac{1}{\sqrt{2-y}+1}+4(\bigstar \bigstar) \end{array} \right.$
Dễ thấy PT $(\bigstar \bigstar)$ vô nghiệm vì:
$\star \frac{3}{\sqrt{1+3y}+2} \leq \frac{3}{2}$
$\star \frac{1}{\sqrt{2-y}+1}+4 \geq 4$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $\color{red}{(x;y)=(1;1)}$
Click dấu tick nếu đáp án chính xác......(bài này dễ...)