Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Question

cho các số

$a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn

$a+b+c=3$ .chứng minh bất đẳng thức

$ab+bc+ca+\frac{1}{abc}\geq abc+3$

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 1/31/2015 9:00:29 PM

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có

$(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc \Rightarrow abc \leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}=\frac{ab+bc+ca}{3}$
vậy ta chỉ cần chứng minh

$ab+bc+ca+\frac{1}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{3}+3$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{3}+\frac{ab+bc+ca}{3}+\frac{1}{abc}\geq 3$

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có

$VT\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^2}{9abc}}\geq 3$

Vì

$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc$

Vậy ta đã có ĐPCM :D
đẳng thức xẩy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Trả lời 31-01-15 09:00 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

1 Đáp án