Ta có : $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{(a+1)(b+1)}-1\Leftrightarrow \frac{a+b+2}{2}\geq \sqrt{(a+1)(b+1)}\Leftrightarrow \frac{a+1+b+1}{2}\geq \sqrt{(a+1)(b+1)}$BĐT này dùng do áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương a+1 và b+1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Mặt khác $\sqrt{(a+1)(b+1)}-1\geq \sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(a+1)(b+1)}\geq \sqrt{ab}+1 \Leftrightarrow (a+1)(b+1)\geq (\sqrt{ab}+1)^2\Leftrightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}$ ( BĐT AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b