bđt

Question

cho x,y,z dương xyz=1

CM :

$\frac{xy}{x^5+xy+y^5}+\frac{yz}{y^5+yz+z^5}+\frac{zx}{x^5+xz+z^5}\leq 1$

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 1/30/2015 8:28:34 PM

Ta có

$(x^3-b^3)(x^2-y^2)\geq 0\Rightarrow x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)$

$\frac{xy}{x^5+y^5+xy}\leq \frac{xy}{x^2y^2(x+y)+xy}\times \frac{z^2}{z^2}\leq \frac{z}{x+y+z}$ ( vì xyz=1)

Tương tự ta có :

$\frac{yz}{y^5+z^5+yz}\leq \frac{yz}{y^2z^2(y+z)+yz}\times \frac{x^2}{x^2}\leq \frac{x}{x+y+z}$

$\frac{zx}{z^5+y^5+zx}\leq \frac{zx}{z^2x^2(z+x)+zx}\times \frac{y^2}{y^2}\leq \frac{y}{x+y+z}$

Cộng 3 đẳng thức trên lại theo từng vế ta được ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

Sửa 30-01-15 08:28 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

í mày là sao thìn – ~Kezo~ 30-01-15 09:16 PM

vote lại cho tau – ๖ۣۜDevilღ 30-01-15 05:20 PM

phải nhân với z^2/z^2 chứ mầy – ๖ۣۜDevilღ 30-01-15 05:19 PM

ghê ta @@@ – ahihi 30-01-15 04:25 PM

๖ۣۜDevilღ · Answer 2 · 1/29/2015 10:00:24 PM

ta chứng mình bổ đề

$x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)$
ápduụng BĐT AM-GM ta có

$x^5+y^5=\frac{3x^5+2y^5}{5}+\frac{3y^5+2x^5}{5}\geq x^3y^2+y^3x^2=x^2y^2(x+y)$

$\Rightarrow \frac{xy}{x^5+y^5+xy}\leq \frac{xy}{xy[1+xy(x+y)]}=\frac{xyz^2}{xyz[z+xyz(x+y)]}=\frac{z}{x+y+z}$
với cách làm tương tự ta có đpcm

Trả lời 29-01-15 10:00 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

2 Đáp án