Chứng Minh BĐT

Question

$\sqrt[3]{sinA}+\sqrt[3]{sinB}+\sqrt[3]{sinC}\leq \sqrt[3]{cos\frac{A}{2}}+\sqrt[3]{sos\frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{C}{2}}$

với ABC là một tam gác

score 1 · Answer 1

Ta có đánh giá quen thuộc:

$a+b \le \sqrt[3]{4(a^3+b^3)} ~~~~\forall a,b>0$

Áp dụng đánh giá trên ta có:

$\sqrt[3]{\sin A}+\sqrt[3]{\sin B} \le \sqrt[3]{4(\sin A+\sin B)}= \sqrt[3]{8\sin\dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{A-B}{2}} \le 2\sqrt[3]{\cos \frac{C}{2}} \Rightarrow\sqrt[3]{\sin A}+\sqrt[3]{\sin B} \le 2\sqrt[3]{\cos \frac{C}{2}}~~~~~(1)$

Tương tự:

$\sqrt[3]{\sin B}+\sqrt[3]{\sin C} \le 2\sqrt[3]{\cos \dfrac{A}{2} }~~~~~~~~~(2)$

$\sqrt[3]{\sin C}+\sqrt[3]{\sin A} \le 2\sqrt[3]{ \cos \dfrac{B}{2}}~~~~~~~~~~(3)$

Cộng vế theo vế

$(1)$ ,

$(2)$ và

$(3)$ ta được điều phải chứng minh.

Dấu

$=$ xảy ra khi

$A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 2 · 1/27/2015 9:41:35 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Đặt:

$\sqrt[3]{\cos \frac{A}{2}}=a; \sqrt[3]{\sin \frac{A}{2} }=x$ Tương tự với b,c và y,z

Khi đó ta cần CM:

$\sqrt[3]{2}(ax+by+cz)\le a+b+c$

Thật vậy, không mất tính tổng quát Giả sử

$A\ge B\ge C \Rightarrow a\le b\le c$ và

$x\ge y \ge z$

Áp dụng BĐT Chê-bư-sếp

$VT\le \frac{\sqrt[3]{2}}{3}(a+b+c)(x+y+z)$

Mặt khác ta chứng minh 2 bổ đề:

$x+y+z\le \sqrt[3]{9(x^3+y^3+z^3)}$ (BĐT Holder)

$x^3+y^3+z^3 \le \frac{3}{2}$ (BĐt lượng giác rất quen)

Vậy ta có đpcm

Trả lời 27-01-15 09:41 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

Ok! anh Tờ,anh đúng là thánh mà Thật là thâm thúy :D – ๖ۣۜDevilღ 27-01-15 09:44 PM

Hỏi	25-01-15 04:24 PM
Lượt xem	1420
Hoạt động	28-01-15 07:55 PM

Chứng Minh BĐT

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chứng Minh BĐT

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan