giải giúp mình bài này với

Question

Bài 1: Cho

$a,b,c$

$\geq0$ thỏa mãn

$\frac{1}{1+a^{2}}+$

$\frac{1}{1+b^{2}}+$

$\frac{1}{1+c^{2}}=2$ . Chứng minh rằng:

$ab+bc+ca$

$\leq$

$\frac{3}{2}$

Bài 2: cho các số thực dương

$x ,y, z$ thỏa mãn

$x+y+z=$

$\frac{3}{2}$ . Tìm GTNN của biểu thức

$P=$

$\frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{1+4xy}+$

$\frac{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}{1+4yz}+$

$\frac{\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}}{1+4zx}$

score 0 · Answer 1

Câu 1:

Quy đồng đưa diều kiện về dạng tương đương:

$(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2(abc)^2=1$

Đặt

$ab=x,bc=y,ac=z$ ta cần chứng minh:

$x+y+z\leq \frac{3}{2}$ với

$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$

Đến đây có 2 hướng giải quyết:

C1: Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác sao cho,

$x=cosA,y=cosB,z=cos C$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Sau đó ta áp dụng BĐT quen thuộc:

$cos A+cos B+cos C\leq \frac{3}{2}$

C2:Để ý rằng ta luôn có

$x,y,z\in (0,1)$ nên nếu đặt

$s=x+y+z$ thì từ đẳng thức trên ta có:

$s^2-2s+1=2(1-x)(1-y)(1-z)\leq 2(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^3=2.\frac{(3-s)^3}{27}$

Giải bất PT trên ta được điều cm

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi thuhuong1607hhpt@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 20-01-15 01:53 PM