Cách 1: $\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}$
$=\frac{6\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}}{6}$
$=\frac{\sqrt{72x^2+108xy+144y^2}}6$
$=\frac{\sqrt{49x^2+154xy+121y^2+23x^2-46xy+23y^2}}{6}$
$=\frac{\sqrt{(7x+11y)^2+23(x-y)^2}}{6}$
$\geq \frac{\sqrt{(7x+11y)^2}}{6}$
$\sqrt{2x^2+3xy+4y^2}\geq \frac{7x+11y}{6}$
tương tự ta có
$\sqrt{2y^2+3yz+4z^2}\geq \frac{7y+11z}{6}$
$\sqrt{2z^2+3zx+4x^2}\geq \frac{7z+11x}{6}$
Cộng lại $=> P\geq 3(x+y+z)$
Áp dụng BĐT quen thuộc $a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$ với $a^2=x;b^2=y;c^2=z$
=> $P\geq3(\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{xy})=3$
Dấu = xảy ra tại $x=y=z=\frac13$
Vậy $Pmin=3$ tại $x=y=z=\frac13$