tìm gtln

Question

$x,y,z$ là số thực dương thõa mãn $x^2 +y^2 +z^2 =1 $

Tìm max $P= 4xy+yz+zx$

score 0 · Answer 1

Ta có $(x+y+kz)^2\geq0\Leftrightarrow x^2+y^2+k^2z^2+2xy+2k(yz+xz)\geq 0$(Xét $k\leq \frac{1}{4}$)

$\Leftrightarrow x^2+y^2+k^2z^2+2k(yz+xz+4xy)+2(1-4k)xy\geq 0$(1)

$VT(1)\leq (x^2+y^2+k^2z^2)+2k.P+(1-4k)(x^2+y^2)=(2-4k)(x^2+y^2)+k^2z^2$

Chọn $k<0$ sao cho $2-4k=k^2$.Chon được $k=-2-\sqrt{6}$

$\Rightarrow (10+4\sqrt{6})(x^2+y^2+z^2)-2.(2+\sqrt{6})P\geq 0\Rightarrow P\leq \frac{2+\sqrt{6}}{2}$

score 0 · Answer 2

$P=4xy+yz+zx=4xy+z(x+y)\leq 2(x^2+y^2)+z\sqrt{2(x^2+y^2)} $ (1)

đặt t=$z^2 (0<t<1)$ thế vào (1)

$P\leq 2(1-t)+ \sqrt{2t(1-t)} =f(t)$

$f'(t)=\frac{1-2t}{\sqrt{2t(1-t)}}-2$

$f'(t)=0<=> t=t_{0}=\frac{3-\sqrt{6}}{6}$

=> $f(t) $đồng biến trên $(0;t_{0})$ và nghick biến trên $(t_{0};1)$

=> $Max f(t)=f(\frac{3-\sqrt{6}}{6}) =\frac{2+\sqrt{6}}{2}$

dđạt được khi$ z=\sqrt{t_{0}}$ và x=y

score 0 · Answer 3

$4xy\leq 2(x^2+y^2)$

$yz=\frac{2}{2+\sqrt{6}}.\frac{2+\sqrt{6}}{2}z.y\leq \frac{1}{2+\sqrt{6}}\left ( \frac{5+2\sqrt{6}}{2}z^2+y^2 \right )$

$xz=\frac{2}{2+\sqrt{6}}.\frac{2+\sqrt{6}}{2}z.x\leq \frac{1}{2+\sqrt{6}}\left ( \frac{5+2\sqrt{6}}{2}z^2+x^2 \right )$

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta sẽ có kết quả bài toán.

3 Đáp án