giải giúp mình bài này với

Question

cho x, y, z là các sổ thực dương . Tìm GTNN của biểu thức

P=

$\frac{3(x^{3}+y^{3}+z^{3})}{4(xy+yz+xz)}$ +

$\frac{1}{(x+y+z)^2}$

score 2 · Answer 1

$x^3+y^3+z^3\geq \frac{(x+y+z)^3}{9}$

$\Leftrightarrow 9(x^3+y^3+z^3)\geq (x+y+z)^3$

Ta có hằng đẳng thức:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$

Vậy ta cần chứng minh:

$8(x+y+z)^3\geq 27(x+y)(y+z)(x+z)$ (đúng)

Áp dụng ta có

$P\geq \frac{(x+y+z)^3}{12(xy+yz+xz)}+\frac{1}{(x+y+z)^2}$

Có

$3(xy+yz+xz)\leq(x+y+z)^2\Rightarrow P\geq \frac{x+y+z}{4}+\frac{1}{(x+y+z)^2}\geq \frac{3}{4}$

Dấu = khi

$x=y=z=\frac{2}{3}$

thông minh thật đấy – thuhuong1607hhpt 04-01-15 03:46 PM

Cảm ơn nhiều nha – thuhuong1607hhpt 04-01-15 03:39 PM

1 Đáp án