cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3. tìm gtnn của : $P=\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ac}+\frac{c^3}{c+ab}$

Question

cho

$a,b,c>0$ thỏa mãn:

$a+b+c=3.$

tìm gtnn của :

$P=\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ac}+\frac{c^3}{c+ab}$

score 1 · Answer 1

Bài này có thể giải quyết = đánh giá AM-GM như sau:

$\frac{a^3}{a+bc}+\frac{a+bc}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3a}{2}$

Tương tự rồi cộng lại ta có:

$\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ac}+\frac{c^3}{c+ab}+\frac{a+bc+b+ac+c+ab}{4}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow VT\geq \frac{5}{4}(a+b+c)-\frac{1}{4}(ab+bc+ac)-\frac{3}{2}=\frac{5}{4}.3-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}(ab+bc+ac)$

Mà ta có

$(ab+bc+ac)\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\Rightarrow -\frac{1}{4}(ab+bc+ac)\geq -\frac{3}{4}$

Vậy

$Min=\frac{3}{2}$

1 Đáp án