Bài 1. Giải hệ phương trình:$\begin{cases}x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} \\ 7y^4-13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3y^2-3x^2+1)} \end{cases}$
Bài 2. Cho hai mặt cầu $(S_1)$ và $(S_2)$ bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài nhau. Các mặt cầu này nằm trong một mặt nón $(C)$. Mỗi mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo một đường tròn. Trong mặt nón có n hình cầu như nhau xếp thành một vòng sao cho mỗi một trong chúng tiếp xúc với mặt nón $(C)$, tiếp xúc $(S_1),$ $(S_2)$ và tiếp xúc với hình cầu hai bên. Tìm n?
Bài 3. Giả sử $a,b,c$ là các số dương sao cho $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$
Bài 4. Tìm các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn phương trình hàm:
$f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$
Bài 5. Cho các dãy số {$x_n$} và {$y_n$} được xác định bới công thức $x_1=a>0,y_1=b>0$
$x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2},y_n=\sqrt{x_n.y_{n-1}}$
Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }x_n=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }y_n$
Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức:
$P(x,y)=x^n+xy+y^n$
không thể viết dưới dạng $P(x,y)=G(x,y).H(x,y)$, trong đó $G(x,y)$ và $H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng