Với $a$ không chính phương. Giả sử $\sqrt a$ không là số vô tỉ, vậy $\sqrt a = \dfrac{m}{n}$ với $(m;\ n) = 1$
$\Rightarrow a=\dfrac{m^2}{n^2} \Leftrightarrow m^2 = n^2 .a \Rightarrow m^2 \ \vdots \ a \Rightarrow m \ \vdots \ a$
Đặt $m=ka$ khi đó $k^2 a^2 =n^2 .a \Rightarrow n^2 = k^2 .a$ lập luận tương tự ta có $n \ \vdots \ a$
Vậy$(m;\ n) = a$ trái giả thiết $(m;\ n)=1$ dó đó $\sqrt a$ phải là số vô tỉ