toán 9

Question

1,chứng minh rằng tồn tại số tự nghiên k sao cho $ 2013^k-1$ chia hết cho 107

2,cho tập hợp $X={1;2;3;4;...;2009}$, chon trong $X$ 1006 số. chứng minh rằng:trong 1006 số đo tồn tại ít nhất 2 số có tổng 2010

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 10/29/2014 12:49:13 PM

Đặt $a_k=2013^k$

=> $a_1=2013^1$

$a_2= 2013^2$

$ ...................$

$a_{108}=2013^{108}-1$

Xét $108$ số $a_1;a_2;...a_{108}$ chia cho $107$, có $107$ số dư

mà 107 có 107 số dư :$0;1;2;...;106$

Theo nguyên lý Điríchlê, tồn tại $2$ trong $108$ số đó đồng dư khi chia $107$

Giả sử là $a_m$ và $a_n$ $(1\leq n<m\leq108)$

=> $a_m-a_n$ chia hết cho $107$

=> $2013^m-2013^n$ chia hết cho $107$

=> $2013^n(2013^{m-n}-1)$ chia hết cho $107$

Vì $(2013;107)=1$

=>$2013^{m-n}-1$ chia hết cho $107$

vậy, tồn tại số $2013^k-1$ chia hết cho $107$ $(k=m-n)$

Trả lời 29-10-14 12:49 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

thực tế bạn chỉ cần chỉ ra k=0 là xong cũng đc, đề bài k nói k khác 0 – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 29-10-14 12:52 PM

score 1 · Answer 2

câu 1 bạn dùng hệ quả của fecma là ra thôi

còn câu 2 thì dùng dirichle cho 2 bộ số mỗi bộ có 1005 số là ok

bn giải hẳn ra cho mk đk k??? – Sakura 29-10-14 05:17 AM

score 1 · Answer 3

1.

Theo định lý Fermat ta có: $2013^{106}-1=2013^{\varphi(107)}-1\equiv 0\;($mod $107)$

Từ đó có thể chọn $k=106$.

bn ơi câu này có thể dùng nli đríchlê k, nếu đk thì bn giải giùm mk vs,mk vừa mới học nên nắm chưa chắc lắm – Sakura 29-10-14 05:16 AM

3 Đáp án