$a)$Gọi giao điểm của $PN$ và $AB$ là $E$
Vì $D, C$ thuộc $(O)$ $\Rightarrow$ $AC$ vuông góc với $BC$ và $BD$ vuông góc với $AD$$\Leftarrow Tứ giác $DNCM$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat{MDN}=90^o\\ \widehat{MCN}=90^o \end{array} \right.$
$\Rightarrow $ Tứ giác $DNCM$ là tg nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{DNP}=\widehat{DCP} (1)$
Dễ chứng minh tứ giác ADCB nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DAN}=\widehat{DCP}(2)$
Từ $(1), (2) $ $\Rightarrow \widehat{DAN} = \widehat{DNP}$ mà $\widehat{DNP}+\widehat{DPN}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{DAN}+\widehat{DPN}=90^o$ hay $\widehat{AEP}90^o$ $\Rightarrow PN$ vuông góc $AB$
Vậy...
$b$ $M$ là giao điểm của 2 tiếp tuyến $CM,DM$ $\Rightarrow$ $DM=CM$
Gọi trung điểm của $PN$ là $M'$
$\triangle DPN$ vuông tại D $\Rightarrow DM' = \frac{1}{2} PN(*)$
Tương tự, ta có $CM'=\frac{1}{2}PN(**)$
Từ $(*),(**)$ $\Rightarrow DM'=CM'$
Dễ chứng minh $\widehat{PDM}=\widehat{BDO} \Rightarrow DM' $ vuông góc $OB$ mà $DM$ vuông góc với $OB$
$\Rightarrow M'\equiv M$ $\Rightarrow P,M,N$ thẳng hàng