Gọi n+1=$x^2$; 2n+1=$y^2$
Có 2n+1 là số chính phương lẻ $\Rightarrow $ nó chia 4 dư 1 $\Rightarrow $ n chẵn $\Rightarrow $ n+1 và 2n+1 là hai số chính phương lẻ $\Rightarrow $ x; y lẻ $\Rightarrow $ x+y; y-x có chắc chắn 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 $\Rightarrow $ $y^2-x^2$ chia hết cho 8 hay n chia hết cho 8 (1)Do n+1 là số chính phương nên khi chia nó cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Nếu n+1 chia hết cho 3 thì n chia 3 dư 2 $\Rightarrow $ 2n+1 chia 3 dư 2 không thể là số chính phương $\Rightarrow $ n+1 chia 3 dư 1 $\Rightarrow $ n chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với ƯCLN(8;3)=1 $\Rightarrow $ n chia hết cho 24 (đpcm)