Giúp em

Question

Xét 1995 STN

$a_1,a_2,a_3,...,a_{1995}$ có tổng bằng

$1994\times1995$

CMR

$P=a_1^3+a_2^3+...+a_{1995}^3$ chi hết cho 3

score 2 · Answer 1

Bổ đề: Với

$a\in\mathbb{Z}$ thì

$a^3-a$ chia hết cho 6

Thật vậy, ta có:

$a^3-a=(a-1)a(a+1)$ , đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp.

Trong 3 số nguyên liên tiếp, tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại 1 số chia hết cho 3, nên tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

Vậy

$a^3-a$ chia hết cho 6 với mọi

$a\in\mathbb{Z}$

Đặt

$S=x_1+x_2+\ldots+x_{1995}$ .

Áp dụng bổ đề ta có:

$P-S$ chia hết cho 6.

Mà

$S$ chia hết cho 6

$\Rightarrow P$ chia hết cho 6.

1 Đáp án