toán khó

Question

1, Giải phương trình: $\sqrt{(1+x^2)^3}-4x^3=1-3x^4$

2, Cho x,y>0; $x+y=\frac{17}{4}$

Tìm GTNN của : $P=x^2+11x+\frac{1}{y^2}+\frac{2x+11}{y}+\frac{3y}{xy+1}$

score 1 · Answer 1

2. Ta có:

$P=x^2+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{1}{y^2}+11(x+\dfrac{1}{y})+\dfrac{3}{x+\dfrac{1}{y}}$

$=(x+\dfrac{1}{y})^2+11(x+\dfrac{1}{y})+\dfrac{3}{x+\dfrac{1}{y}}$

Đặt: $t=x+\dfrac{1}{y}$, ta được:

$P=t^2+11t+\dfrac{3}{t}$

$=t^2-t+\dfrac{1}{4}+12t+\dfrac{3}{t}-\dfrac{1}{4}$

$=(t-\dfrac{1}{2})^2+2\sqrt{12t.\dfrac{3}{t}}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{47}{4}$

$\min P=\dfrac{47}{4} \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{4}\\y=4\end{array}\right.$

score 1 · Answer 2

Câu 1:

$PT\Leftrightarrow\sqrt{(1+x^2)}^3-4x^3=1-3x^4$

$\Leftrightarrow (\sqrt{1+x^2}-1)(1+x^2+1+\sqrt{1+x^2})=x^3(4-3x)$

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}.(1+x^2+1+\sqrt{1+x^2})=x^3(4-3x)$

Vậy $x=0$ là 1 nghiệm xét $x\neq0$ ta có: $\frac{1+x^2+1+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x^2+1}+1}=x(4-3x)$

$\Leftrightarrow \frac{x^2+1}{\sqrt{1+x^2}+1}=-3x^2+4x-1(1)$

Do $VT\geq \frac{1}{2}$ còn $VP\leq \frac{1}{3}$ nên PT này vô nghiệm.

2 Đáp án