Đặt: $\sqrt[3]{a^2}=x;\sqrt[3]{b^2}=y;\sqrt[3]{c^2}=z$
BĐT cần chứng minh trở thành: $x^3+y^3+z^3+3xyz\ge2(\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{z^3x^3}$
Vì vai trò của $x,y,z$ như nhau, giả sử $x\ge y\ge z\ge 0$
Khi đó: $x(x-y)^2+z(y-z)^2+(x+z-y)(x-y)(y-z)\ge0$
$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $xy(x+y)\ge2xy\sqrt{xy}=\sqrt{x^3y^3}$
Tương tự: $yz(y+z)\ge2\sqrt{y^3z^3};zx(z+x)\ge2\sqrt{z^3z^3}$
Từ đó suy ra: $x^3+y^3+z^3+3xyz\ge2(\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{z^3x^3}$, đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$