Mọi người giúp mình nhé

Question

Bài 1: Cho a,b,c>0 và

$a+b+c\leq \sqrt{3}$

CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{3}{2}$

score 1 · Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức CBS ta được:

$A^2=(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^2}}+...+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{1+c^2})^2\leq (a+b+c).(\frac{a}{1+a^2}+...+\frac{c}{1+c^2})$

Bây giờ ta xét : B=

$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}$

Ta có BĐT sau đây:

$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{3}{8}a+\frac{\sqrt{3}}{8}$

Chứng minh chỉ cần quy đồng ta được:

$3a^3+\sqrt{3}a^2-5a+\sqrt{3}\geq0$

$\Leftrightarrow (3a+3\sqrt{3})(a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2\geq 0$ (Đúng với mọi a>0)

Dấu =xảy ra khi

$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .Tương tự rồi cộng lại ta được

$B\leq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3\sqrt{3}}{8}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}$ .(Do

$a+b+c\leq \sqrt{3}$ )

Từ đó

$A^2\leq \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D.C$

phân tích thành nhân tử nghiệm căn 3 trên 3 bạn à – WhjteShadow 23-09-14 04:31 PM

đã giúp giúp cho trót – Optimus Prime 22-09-14 09:33 PM

bạn chứng minh cái BĐT phụ đó rõ hơn dc ko mình ko biến đổi dc – Optimus Prime 22-09-14 09:33 PM

r sửa r đấy V hộ cái vote luôn nhá:K vote sau k giúp nữa:D – WhjteShadow 22-09-14 08:17 PM

Hình như bạn biến đổi có dấu bằng sai rồi xem lại nhé – Optimus Prime 22-09-14 07:06 PM

Nếu thấy đúng thì hãy chấp nhận và vote mạnh tay nhé! – WhjteShadow 22-09-14 06:03 PM

1 Đáp án