M.n giúp mình bài này với !

Question

Chứng minh rằng:

$1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ chia hết cho

$5$ khi và chỉ khi

$n$ không chia hết cho

$4$

score 1 · Answer 1

Giả sử

$n=4k+r$ , với

$0\le r\le 3$ .

Ta có:

$1^n+2^n+3^n+4^n=1^k.1^r+16^k.2^r+81^k.3^r+256^k.4^r\equiv 1^r+2^r+3^r+4^r\;($ mod

$5)$ .

Đặt

$S=1^r+2^r+3^r+4^r$ .

Với

$r=0$ thì

$S=4\not\equiv 0\;($ mod

$5)$ .

Với

$r=1$ thì

$S=10\equiv 0\;($ mod

$5)$ .

Với

$r=2$ thì

$S=30\equiv 0\;($ mod

$5)$ .

Với

$r=3$ thì

$S=100\equiv 0\;($ mod

$5)$ .

Suy ra:

$1^n+2^n+3^n+4^n$ chia hết cho 5 khi và chỉ khi

$n$ không chia hết cho 4.

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi chuonggiothuytinh1004@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 12-09-14 07:32 PM