Phương trình bậc 2

Question

Cho phương trình:

$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}=0$ (m là tham số). Tìm số nguyên m lớn nhất để phương trình có hai nghiệm

$x_{1}, x_{2}$ soa cho

$\frac{(x_{1}-x_{2})^{2}+7}{x_{1}+x_{2}+1}$ là một số nguyên.

score 1 · Answer 1

Để phương trình

$(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta =(2m-1)^{2}-4m^{2}=1-4m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{4}$

Khi đó

$x_{1}+x_{2}=1-2m$ và

$x_{1}x_{2}=m^{2}$

$P=\dfrac{(x_{1}-x_{2})^{2}+7}{x_{1}+x_{2}+1}=\dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+7}{x_{1}+x_{2}+1}$

$=\dfrac{(1-2m)^{2}-4m^{2}+7}{1-2m+1}=\dfrac{8-4m}{2-2m}=\dfrac{2}{1-m}+2$

Để

$P$ nguyên thì

$1-m$ phải là ước số của

$2$ là

$\pm 2$ hoặc

$\pm 1$ .

$1-m=2\Rightarrow m=-1$

$1-m=-2\Rightarrow m=3$

$1-m=1\Rightarrow m=0$

$1-m=-1\Rightarrow m=2$

Do điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biêt là

$m<\dfrac{1}{4}$ nên

$m$ lớn nhất là

$m=0$

score 1 · Answer 2

Trước hết ta tìm m để pt có 2 nghiệm pb:

$\Delta=(2m-1)^{2}-4m^{2}>0 \Leftrightarrow1-4m>0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}>m$

Ta biên đổi biểu thức bài ra thành

$A=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+7}{x_{1}+x_{2}+1}$

Áp dụng Viet ta đc

$x_{1}+x_{2}=-(2m-1),x_{1}x_{2}=m^{2}$

Thay vào A và rút gọn ta đc :

$A=\frac{8-4m}{2-2m} \Leftrightarrow A=2+\frac{2}{1-m}$

Vì 2 nguyên nên A nguyên

$\Leftrightarrow \frac{2}{1-m}$ nguyên

Từ đó ta dk 1-m thuộc ước của 2

Ta tìm dc m max tm m>1/4 là m=0

2 Đáp án