Tứ giác nội tiếp

Question

Cho tứ giác

$ABCD$ nội tiếp dường tròn. chứng minh rằng

$AB.CD + BC.AD = AC.BD$

score 2 · Answer 1

trên AC lấy 1 điểm M sao cho :

$\widehat{ABM}=\widehat{CBD}$
Ta có:

$\widehat{ABM}+\widehat{CBM}=\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=\widehat{ABD}+\widehat{ABM}$

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CBM}$

$\triangle _{ABD}\sim \triangle _{MBC}$ (g,g)

$\Rightarrow \frac{AD}{MC}=\frac{BD}{MC}$

$\Rightarrow AD.BC = BD . MC (1)$

$\triangle _{ABM}\sim \triangle _{DBC}$ (g,g)

$\Rightarrow \frac{AB}{DB}=\frac{AM}{DC}$

$\Rightarrow AB . DC = DB.AM (2)$

TA LẤY (1) + (2) THEO VẾ TA ĐƯỢC :

$AD.BC + AB.DC = DB.MC + DB.AM = DB.(MC +AM)$

$\Rightarrow AD.BC + AB.DC = DB.(MC +AM) = DB.AC$ (điều phải chứng minh )

1 Đáp án