đề thi hsg(5)

Question

1,
Giải phương trình: $\dfrac{x^2}{(\sqrt{x+1}+1})^2=x-4$
2,
Tìm nghiệm nguyên của hệ:
$x+y+z=5$
và $xy+yz+zx=8$
3,
Cho hình thang $ABCD ( AB // CD, AB>CD).$ XĐ điểm $E$ thuộc cạnh bên $BC$ sao cho đoạn thẳng $AE$ chia hình thang thành 2 hình có diện tích bằng nhau

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Qua $A$ vẽ $Ax//MD,Ax$ cắt $DC$ tại $F$

Qua $B$ vẽ $By//MC,By$ cắt $DC$ tại $E$. Chứng minh:$S_{ABCD}=S_{MEF}$

Lấy N là trung điểm của EF, MN chia tam giác MEF thành hai hình có diện tích bằng nhau và cùng chia tứ giác ABCD ra hai phần có diện tích bằng nhau. Nếu N thuộc đoạn thẳng DC, tức là $S_{AMD}<\frac{1}{2}S_{ABCD}$ và $S_{BMC}<\frac{1}{2}S_{ABCD}$

score 3 · Answer 2

2, Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=5-z\\ xy+(x+y)z=8 \end{cases}$

Đặt $\begin{cases}x+y=u \\ xy=v \end{cases}\Rightarrow x,y$ là nghiệm của pt: $t^2-ut+v=0 (a)$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow u^2-4v\geq 0 (*)$

Ta có hệ :$\begin{cases}u=5-z (1)\\ v+zu=8 (2)\end{cases}$. Thế $(1)$ vào $(2)\Rightarrow v=8-z(5-z)=z^2-5z+8$

Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow (a)$ có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ xảy ra

$\Rightarrow (5-z)^2-4(z^2-5z+8)\geq 0\Leftrightarrow -3z^2+10z-7\geq 0$

$\Leftrightarrow (z-1)(-3z+7)\geq 0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}z-1\geq 0\\ 7-3z\geq 0\end{cases}\\ \begin{cases}z-1\leq 0\\ 7-3z\leq 0\end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 1\leq z\leq \frac{7}{3}(3)\\\begin{cases}z\leq 1\\ z\geq \frac{7}{3} (VN)\end{cases} \end{matrix}} \right.$

Từ $(3)$ và do z nguyên nên $\Rightarrow z=1;2$

$*z=1\Rightarrow \begin{cases}u=4 \\ v=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y=4 \\ xy=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=2 \\ y= 2\end{cases}$

$*z=2\Rightarrow \begin{cases}u=3 \\ v=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x=1 \\ y=2 \end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases} \end{matrix}} \right.$

Vậy hẹ pt có 3 nghiệm nguyênlà $(2;2;1),(1;2;2),(2;1;2)$