chứng minh

Question

Chứng minh rằng:

$a/ tanx>x+\frac{x^3}{3}, \forall x\in (0;\frac{\pi }{2})$

$b/ 2\alpha +\frac{1}{\alpha ^3}>3, 0 <\alpha <\frac{3}{4}.$

score 1 · Answer 1

a. Ta cần bài toán phụ sau

Nếu

$x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$ thì

$\tan x >x$

Chứng minh : Đặt

$f(x)=\tan x-x\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1>0;\forall x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$

Vậy

$f(x)$ đồng biến trên

$(0,\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow f(x)>f(0)=0$

$\Rightarrow \tan x>x$

Trở lại với bài toán ban đầu

Đặt

$g(x)=\tan x-x-\dfrac{x^3}{3}$

$\Rightarrow g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}-1-x^2=\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}-x^2=\tan^2x-x^2>0$ (Theo bt phụ)

Vậy

$g(x)$ đồng biến trên

$(0,\dfrac{\pi}{2})\Rightarrow g(x)>g(0)=0$

$\Rightarrow \tan x>x+\dfrac{x^3}{3}$

Dark · Answer 2 · 8/18/2014 10:49:42 PM

$b/$ Có

$2a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=a^{2}+a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}}>3a$ (do

$0<a<\frac{3}{4}$ )

$\Leftrightarrow 2a+\frac{1}{a^{3}}>3$ (đpcm)

Trả lời 18-08-14 10:49 PM

Dark
1

499M 49K

2 Đáp án