xác định công thức tổng quát của dãy số [tex]\begin{cases} u_{1} =0\\ u_{n+1}=\frac{n}{n+1}\left(u_{n} +1\right) \end{cases}[/tex]

Question

xác định công thức tổng quát của dãy số
$\begin{cases} u_{1} =0\\ u_{n+1}=\frac{n}{n+1}\left(u_{n} +1\right) \end{cases}$

score 4 · Answer 1

ta thấy công thức tổng quát của $u_{n+1}=\frac{n}{2}$

thật vậy

xét $n=1$ tức $u_2 = \frac{1}{2}$ đúng

giải sử nó đúng với $n=k$

tức $u_{k+1}=\frac{k}{2}$

ta phải chứng minh nó đúng với n=k+1

hay phải chứng mình

$u_{k+2}=\frac{k+1}{2}$

thật vây

$u_{k+2}=\frac{k+1}{k+2}\left(u_{k+1}+1\right)=\frac{k+1}{k+2}\left(\frac{k}{2}+1\right)=\frac{k+1}{2}$ điều này đúng

tức là nó đúng với $n=k+1$

vậy công thức tổng quát của $u_{n+1}=\frac{n}{2}$

Lưu ý: để tìm ra số hạng tổng quát kia, thì bạn cứ chịu khó thay $u_n,u_{n-1}....u_2,u_1$ và biến đổi một chút là thấy công thức tổng quát

Nhớ vote lấy tinh thần

score 1 · Answer 2

Đề bài $\Leftrightarrow (n+1)u_{n+1}=n.u_{n}+n$

Đặt $v_{n}=n.u_{n}\Rightarrow v_{n+1}=(n+1)u_{n+1} $ từ đó $v_{n+1}-v_{n}=n$

Ta có $v_{2}-v_{1}=1;v_{3}-v_{2}=2;...;v_{n}-v_{n-1}=n-1$ công lại được:

$v_{n}=v_{1}+1+2+...+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ nên $n.u_{n}=\frac{n(n-1)}{2}$

Vậy $u_{n}=\frac{n-1}{2} \forall n \in N $

2 Đáp án