Bài toán áp dụng bất đẳng thức của 2 số nghịch đảo

Question

Cho biểu thức: $ P=(x^{2} + \frac{1}{y^{2}})(y^{2}+ \frac{1}{x^{2}}) $

Với $ x, y \in R^{+}, x + y = 1 $ . Tìm $ P\min $

Nếu a và b là 2 số lớn hơn hoặc bằng 0 thì a/b b/a lớn hơn hoặc bằng 2
Mình chưa rõ lắm về BĐT 2 số nghịch đảo ?????

Đức Vỹ · Answer 1 · 7/2/2014 8:50:55 AM

Có $x+y=1 \Rightarrow xy\leq\frac{1}{4}$

Có $x^2 + \frac{1}{y^2}$

$=x^2 + \frac{1}{16y^2}+\frac{1}{16y^2}+...+\frac{1}{16y^2}(16 số \frac{1}{16y^2})\geq 17\sqrt[17]{\frac{x2}{(16y^2)^{16}}}$

Cmtt: $y^2 + \frac{1}{x^2} \geq 17\sqrt[17]{\frac{y^2}{(16x^2)^{16}}}$

$\Rightarrow P \geq 17\sqrt[17]{\frac{x^2}{(16y^2)16}}*17\sqrt[17]{\frac{y^2}{(16x^2)16}}=17^2 *\sqrt[17]{\frac{1}{1617 *(16x^2y^2)15}}\geq 17^2 *\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$

dấu = có khi $x=y=\frac{1}{2}$

lịch sử

Sửa 02-07-14 08:50 AM

Đức Vỹ
25 4

137K 747K

Trả lời 01-07-14 10:00 PM

Dark
1

499M 49K

score 0 · Answer 2

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $xy\le\dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$.

Ta có:

$P=x^2y^2+\dfrac{1}{x^2y^2}+2$

$=256x^2y^2+\dfrac{1}{x^2y^2}-255x^2y^2+2$

$\ge2\sqrt{256x^2y^2.\dfrac{1}{x^2y^2}}-255.\dfrac{1}{16}+2$

$=\dfrac{289}{16}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=\dfrac{1}{2}$

Hỏi	01-07-14 09:25 PM
Lượt xem	1640
Hoạt động	04-07-14 09:32 AM

Bài toán áp dụng bất đẳng thức của 2 số nghịch đảo

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bài toán áp dụng bất đẳng thức của 2 số nghịch đảo

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan