Điều kiện: $x\geq 0,y\geq 0.$
$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y+9}=9(1) \\ \sqrt{y}+\sqrt{x+9}=9(2) \end{cases}$$(1)-(2)\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y+9}-\sqrt{y}-\sqrt{x+9}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{x+9}=\sqrt{y}-\sqrt{y+9}$ $(*)$
Xét hàm $f(t)=\sqrt{t}-\sqrt{t+9},$ $t\geq 0$ ta có:
$f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}-\frac{1}{2\sqrt{t+9}}<0 $ $\forall t\geq 0$
nên $f(t)$ nghịch biến trên $[0;+\infty )$
$(*)\Leftrightarrow x=y$
Thay vào phương trình $(1)$, ta có:
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{x+9}=9$
Xét hàm $g(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x+9}-9$, ta có:
$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+9}}>0$ $\forall x\geq 0$
nên $g(x)$ đồng biến trên $[0;+\infty)$. Suy ra $g(x)=0$ có nghiệm duy nhất trên $[0;+\infty )$
Mặt khác $g(16)=0$ nên ta có $x=16\Rightarrow y=16$ ( TMĐK)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $(x;y)=(16;16)$