Phần (a) phải sửa thành: $a+b=(a\tan A+b\tan B)\tan\dfrac{C}{2}$ mới đúng.
Ta có
$a+b=(a\tan A+b\tan B)\tan\dfrac{C}{2}$
$\Leftrightarrow a\tan A+b\tan B=(a+b)\cot\dfrac{C}{2} $
$\Leftrightarrow a\tan A+b\tan B=(a+b)\tan\dfrac{A+B}{2} $
$\Leftrightarrow a\left(\tan A-\tan\dfrac{A+B}{2}\right)+b\left(\tan B-\tan\dfrac{A+B}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow a\frac{\sin\dfrac{A-B}{2}}{\cos A\cos\dfrac{A+B}{2}}-b\dfrac{\sin\dfrac{A-B}{2}}{\cos B\cos\dfrac{A+B}{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sin\frac{A-B}{2}=0&(1)\\\dfrac{a}{\cos A}-\dfrac{b}{\cos B}=0&(2)\end{array}\right.$
$(1)\Leftrightarrow A=B \Leftrightarrow \triangle ABC$ cân.
$(2)\Leftrightarrow \dfrac{a}{\cos A}=\dfrac{b}{\cos B}=0\Leftrightarrow \dfrac{a}{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\dfrac{b}{\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$
$\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=a^2+c^2-b^2\Leftrightarrow a=b \Leftrightarrow \triangle ABC$ cân.